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1、1 （ 20102010 年高考全国卷年高考全国卷 I I 理科理科 9 9）已知、为双曲线 C:的左、右焦点，点1F2F221xyp 在 C 上，p=，则 P 到 x 轴的距离为1F2F060(A) (B) (C) (D) 3 26 2361.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的 数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析】不妨设点 P在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得00(,)xy，.由21000|()12aPFe xaexxc 22000|)21aPFe xexaxc余弦定理得cosP=,即 cos,1F2F222 1
2、21212| 2|PFPFFF PFPF060222 0000(12)( 21)(2 2)2(12)( 21)xxxx解得,所以，故 P 到 x 轴的距离为2 05 2x 22 00312yx 06|2y 6 （20102010 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 9 9）椭圆的右焦点，其右准线与轴22221()xyabab Fx的交点为 A，在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值F 范围是（A） （B） （C） （D）20,210,22 1,11,1 2解析：由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点，F 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相
3、等而|FA|22abccc|PF|ac,ac于是ac,ac2b c即 acc2b2acc2222222accacacacc1112c a cc aa 或又 e(0,1)故 e1,1 2答案：D3 （20102010 年高考江苏卷试题年高考江苏卷试题 6 6）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线上一点112422 yxM，点 M 的横坐标是 3，则 M 到双曲线右焦点的距离是_【答案】4解析考查双曲线的定义。，为点 M 到右准线的距离，422MFedd1x =2，MF=4。d1 （20102010 年高考山东卷理科）年高考山东卷理科） （本小题满分 12 分）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上
4、的点和椭圆的左、右22221(0)xyabab2 2焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设12,F F4( 21)为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.P1PF2PFBA、CD、（）求椭圆和双曲线的标准方程；（）设直线、的斜率分别为、，证明；1PF2PF1k2k121k k （）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若ABCDAB CD不存在，请说明理由.【解析】 （）由题意知，椭圆离心率为，得，又，c a2 22ac22ac4( 21)所以可解得，所以，所以椭圆的标准方程为；2 2a 2c 2224bac22 184xy所以椭圆的焦点坐标为（
5、，0） ，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，2 所以该双曲线的标准方程为。22 144xy（）设点 P（，） ，则=，=，所以=0x0y1k002y x 2k002y x 12k k 002y x002y x ，又点 P（，）在双曲线上，所以有，即，所以2 0 2 04y x0x0y22 00144xy22 004yx=1。12k k 2 0 2 04y x（）假设存在常数，使得恒成立，则由（）知，ABCDAB CD121k k 所以设直线 AB 的方程为，则直线 CD 的方程为，(2)yk x1(2)yxk由方程组消 y 得：，设，22(2)184yk xxy2222(21)88
6、80kxk xk11( ,)A x y，22(,)B xy则由韦达定理得：21228,21kxxk212288,21kx xk所以|AB|=，同理可得22 12121()4kxxx x224 2(1) 21k k |CD|=，22 121211 ( )()4xxx xk2214 2(1)121kk224 2(1) 2k k 又因为，所以有=+ABCDAB CD11 |ABCD2221 4 2(1)k k 222 4 2(1)k k =，所以存在常数，使得恒成立。22333 2 84 2(1)k k3 2 8ABCDAB CD【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线
7、与圆锥曲 线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问 题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的 能力。10 （20102010 年高考江苏卷试题年高考江苏卷试题 1818） （本小题满分 16 分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为 A、B，右焦点为xoy15922 yxF。设过点 T（）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M、，其中mt,),(11yx),(22yxNm0,。0, 021yy（1）设动点 P 满足,求点 P 的轨迹；422 PBPF（2）设，求点 T 的坐标；31, 221xx（3）设
8、,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐9t标与 m 无关） 。解析 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分 16 分。（1）设点 P（x，y） ，则：F（2，0） 、B（3，0） 、A（-3，0） 。由，得 化简得。422 PBPF2222(2)(3)4,xyxy9 2x 故所求点 P 的轨迹为直线。9 2x （2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，） 、N（，31, 221xx0, 021yy5 31 3）20 9直线 MTA 方程为：，即，03 52303yx113yx直线 NTB 方程为：，即。03 20103
9、93yx 55 62yx联立方程组，解得：，7 10 3xy所以点 T 的坐标为。10(7,)3（3）点 T 的坐标为(9,)m直线 MTA 方程为：，即，03 093yx m(3)12myx直线 NTB 方程为：，即。03 093yx m(3)6myx分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，15922 yx123,3xx 解得：、。2223(80)40(,)8080mmMmm 2223(20)20(,)2020mmNmm（方法一）当时，直线 MN 方程为：12xx222222222203(20) 2020 40203(80)3(20) 80208020mmyxmm mmmm mmmm令，解得：。此
10、时必过点 D（1，0） ；0y 1x 当时，直线 MN 方程为：，与 x 轴交点为 D（1，0） 。12xx1x 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D（1，0） 。（方法二）若，则由及，得，12xx22222403360 8020mm mm0m 2 10m 此时直线 MN 的方程为，过点 D（1，0） 。1x 若，则，直线 MD 的斜率，12xx2 10m 222240 1080 240340180MDm mmkmm m直线 ND 的斜率，得，所以直线 MN 过 D 点。222220 1020 36040120NDm mmkmm m MDNDkk因此，直线 MN 必过轴上的点（1，0）
11、。x20 （本小题满分 14 分）已知二次函数( )yg x的导函数的图像与直线2yx平行，且( )yg x在1x 处取得极小值1(0)mm设( )( )g xf xx（1）若曲线( )yf x上的点P到点(0,2)Q的距离的最小值为2，求m的值；（2）()k kR如何取值时，函数( )yf xkx存在零点，并求出零点解：（1）依题可设1) 1()(2mxaxg (0a)，则aaxxaxg22) 1(2)( ；又 gx的图像与直线2yx平行 22a 1a mxxmxxg21) 1()(22， 2g xmf xxxx， 设,ooP x y，则2002 02 02 02)()2(|xmxxyxPQ
12、mmmmmxmx2|22222222 2 02 2 0当且仅当2 02 2 02xmx 时，2| PQ取得最小值，即| PQ取得最小值2当0m时，2)222(m 解得12 m 当0m时，2)222(m 解得12 m（2）由 120myf xkxk xx(0x)，得2120k xxm *当1k 时，方程 *有一解2mx ，函数 yf xkx有一零点2mx ；当1k 时，方程 *有二解4410mk ，若0m ，11km ，函数 yf xkx有两个零点)1 (2)1 (442 kkmx，即1)1 (11 kkmx；若0m ，11km ，函数 yf xkx有两个零点)1 (2)1 (442 kkmx，
13、即1)1 (11 kkmx；当1k 时，方程 *有一解4410mk , 11km , 函数 yf xkx有一零点mkx11综上，当1k 时, 函数 yf xkx有一零点2mx ；当11km (0m )，或11km （0m ）时，函数 yf xkx有两个零点1)1 (11 kkmx；当11km 时，函数 yf xkx有一零点mkx11.21 （本小题满分 14 分）已知曲线22:20(1,2,)nCxnxynK从点( 1,0)P 向曲线nC引斜率为(0)nnk k 的切线nl，切点为(,)nnnP xy（1）求数列nnxy与的通项公式；（2）证明：1352112sin1nn n nnxxxxxxxyL.解：（ 1）设直线nl：) 1( xkyn，联立0222ynxx得0)22()1 (2222nnnkxnkxk，则0)1 (4)22(2222nnnkknk，12 nnkn（12 nn舍去）2222 2 ) 1(1nn kkxnn n，即1nnxn，112) 1(nnnxkynnn（2）证明： 121111111 n nnnnxxnn121 1212 53 31 212 43 2112531 nnn nnxxxxnnn nxxxxxx 1112531由于nnnn xx nyx 11 121，可令函数xxxfsin2)(，则xxfcos21)(，令0)(xf，得
