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1、齐 齐 哈 尔 大 学毕业设计（论文）题 目 用概率论的方法证明组合恒等式 学 院 理 学 院 专业班级 信息与计算科学 082 齐齐哈尔大学毕业设计(论文)I用概率论的方法证明组合恒等式摘 要组合恒等式是组合数学中的一个组成部分，也是组合数学研究的一个重要内容. 本文主要探讨如何利用概率方法研究组合恒等式，主要从不同的角度解答同一 概率问题，得到同一事件的概率两种不同的表达形式，由其相等导出组合恒等 式. 通过构造概率模型，利用“必然事件的概率等于 1”和“不可能事件的概 率等于 0”证明组合恒等式，或者利用古典概率方法证明组合恒等式，也就是 在实际问题中将需要证明的组合恒等式引证出来。对于
2、需要被证明的组合恒等 式，将所构造概率模型中相关事件的概率计算出来以后，从而推导出式子两端 相等。每种论证方法中首先总的介绍这种方法是用的什么思想，然后列举例子 加以论证，使所述问题更加透彻.关键字：组合恒等式；概率模型； 古典概率； 数字特征齐齐哈尔大学毕业设计(论文)IIAbstractCombinatorial identity is an important part and research field of combinatorics. This paper explores using probabilistic method to derive combinatorial id
3、entities. We count a probabilistic problem by using different ways to obtain different expresses for the question. We build a probabilistic model on a classical probability to find or prove some identities by constructing the event whose probability equals 1 or 0, that is ，the the equatin will be dr
4、awn from the concrete problems. We investigate combinatorial identities using probability properties and numeral characters of a random variable with discrete type. Each method was first demonstrated the general description of what this method is thought, and then held some examples discussed. Keywo
5、rds: Combinatorial identity; probabilistic model; classical probability; numeral characters目 录摘 要 .IAbstract.II第 1 章 绪 论.11.1 引言.1 1.2 课题背景.1 1.3 实际应用方面的价值.21.4 本文主要的研究内容.3 1.5 相关工作.3第 2 章 运用概率论的基本理论证明组合恒等式.42.1 运用完备事件组证明组合恒等式.4 2.2 运用全概率公式证明组合恒等式.72.3 运用概率性质证明组合恒等式.8第 3 章 运用概率理论构造数学模型证明组合恒等式.113.1
6、运用随机变量的数字特征证明组合恒等式 .11 3.2 运用构造概率模型证明组合恒等式 .18 3.3 运用等概率法证明组合恒等式 .22第 4 章 由概率方法引申出的恒等式证明.264.1 级数恒等式的证明.26 4.2 初等恒等式的证明.27 4.3 级数组合恒等式的证明 .27总结.31参考文献.32致谢.33齐齐哈尔大学毕业设计(论文)1第 1 章 绪 论1.1 引言当前，组合恒等式无论是在中学还是大学都应用广泛，很多问题都涉及到这方面的解法.在组合数学中，有很多类型的组合恒等式.这么多纷繁复杂的组合恒等式，我们必须寻求一种最简便的方法使问题得以解决，查阅过很多资料，通过很多证明方法的检
7、验，我们寻求除了一种组合恒等式的证明方法组合恒等式的概率方法.对于较为简单的组合恒等式，我们可以一步就分析出结果，稍复杂的需要我们演算一两步达到欲求的结果，但是并不是所有的组合恒等式都是那么的简单，有的组合恒等式很复杂，我们要深入了解，就必须通过一步步的证明、深究，证明组合恒等式的方法有很多，譬如有分类法、概率法、求导法等一系列方法证明组合恒等式.本文，我们选用利用概率方法来证明组合恒等式，我主要介绍这几种方法：构造模型法、概率性质法、数字特征法，这些都是前人通过比较发现的较为好的方法，我们加以更好的应用，我们应当看到组合恒等式与概率二者的结合，只要把握了这一点，相信就能够从中受益匪浅，感触颇
8、多.含有组合数的恒等式叫做组合恒等式.简单的组合恒等式的化简和证明，可以直接运用课本所学的基本组合恒等式.事实上，许多试题中出现的较复杂的组合数计算或恒等式证明，也往往运用这些基本组合恒等式，通过转化，分解为若干个简单的组合恒等式而加以解决.我们简单的介绍四种组合恒等式：二项式组合恒等式、关于 Catalan 三角数的组合恒等式、基于格路模型的组合恒等式、由概率引起的组合恒等式.通过对一些组合恒等式的了解，我们就选用各种概率的方法加以证明它们，达到一个比较完善的效果.1.2 课题背景组合数学是以离散结构为主要研究对象的一门学科，它主要研究满足一定条件的组态(一种安排)的存在性、计数及构造等方面
9、的问题.近几年，随着计算机科学的产生与发展，组合数学得到了迅速的发展。概率起源于欧洲国家的一种赌博方式掷骰子。随着科学技术发展的迫切需要，概率论在 20 世纪迅速地发展起来。柯尔莫哥洛夫首次用测度理论定义了什么是概率。他的公理化方法不仅成为现代概率论的基础，还使概率论成为严谨的数学分支。齐齐哈尔大学毕业设计(论文)2由于其他学科、技术的推动，概率论得到飞速发展，理论课题不断扩大与深入，应用范围大大拓宽。俄罗斯的彼得堡数学学派，继承和发展了古典概率论之精华，拯救了濒临危机的概率论；变革和制定了一系列研究方法，振兴了概率论学科；提出和创立了概率论新思想，开拓了概率论新领域。由于资料的限制、语言的困难和文化的差异使得国内外系统研究彼得堡数学学派概率思想者还甚少，有关资料相当匮乏，一些相关论述大都出现在综合性的书籍中，倾向于按照现代数学的习惯给出一般性的解释，且多为简要性介绍，读者难以了解其精髓所在。鉴于彼得堡数学学派在概率论发展史上的重要地位，本文以概率论思想为主线，通过建立概率模型,对概率思想证明恒等式方面进行了简单的应用。组合数学和概率论的产生
