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1、 8.2.3 反幂法 反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量， 也可用来计算对应于一个给定近似特征值的特征向量. 设 为非奇异矩阵， 的特征值次序记为 相应的特征向量为 ，则 的特征值为 对应的特征向量为 . 因此计算 的按模最小的特征值 的问题就是计算 的按模最大的特征值的问题. 1对于 应用幂法迭代（称为反幂法），可求得矩阵 的主特征值 ，从而求得 的按模最小的特征值 . 反幂法迭代公式为： 任取初始向量 , 构造向量序列 迭代向量 可以通过解方程组 求得. 定理15 设 为非奇异矩阵且有 个线性无关的特征 向量，其对应的特征值满足 2则对任何初始非零向量 ，由反幂法构造的向量 序
2、列 满足收敛速度的比值为 . 反幂法中也可以用原点平移法来加速迭代过程或求其 他特征值及特征向量. 如果矩阵 存在，其特征值为 3对应的特征向量仍然是 . 对矩阵 应用幂法，得到反幂法的迭代公式 （2.12）如果 是 的特征值 的一个近似值，且设 与其 他特征值是分离的，即就是说 是 的主特征值，可用反幂法计算4特征值及特征向量. 设 有 个线性无关的特征向量 ， 则 其中 5同理可得： 定理16 设 有 个线性无关的特征向量， 的特征值及对应的特征向量分别记为 及 , 而 为 的近似值， 存在，且则对任意的非零初始向量 ，由反幂法迭代公式 （2.12）构造的向量序列 满足 6且收敛速度由比值
3、 确定. 由该定理知，对 (其中 ) 应用反幂法， 可用来计算特征向量 . 只要选择的 是 的一个较好的近似且特征值分离情 况较好，一般 很小，常常只要迭代一二次就可完成特征 向量的计算. 反幂法迭代公式中的 是通过解方程组 求得的. 为了节省工作量，可以先将 进行三角分解 7其中 为某个排列阵，于是求 相当于解两个三角形方程 组 可以按下述方法选择 ：选 使 （2.13）用回代求解（2.13）即得 ，然后再按公式（2.12）进行迭 代. 反幂法计算公式 1. 分解计算 82. 反幂法迭代 9例6 用反幂法求 的对应于计算特征值 （精确特征值为 ) 的特征向量（用5位浮点数进行运算）. 解 用
4、部分选主元的三角分解将 (其中 ) 分解为 其中 10由 ，得 11由 ，得 对应的特征向量是 由此看出 是 的相当好的近似. 特征值 ， 的真值为128.3 豪斯霍尔德方法 8.3.1 引言 本节讨论两个问题（1） 用初等反射阵作正交相似变换约化一般实矩阵 为上海森伯格阵.（2） 用初等反射阵作正交相似变换约化对称矩阵 为 对称三对角阵.于是，求原矩阵特征值问题，就转化为求上海森伯格阵 或对称三对角阵的特征值问题. 8.3.2 用正交相似变换约化一般矩阵为上海森柏格阵 设 . 可选择初等反射阵 使 经正交相似变换约化为一个上海森伯格阵. 13（1） 设 其中 ，不妨设 , 否则这一 步不需要
5、约化. 选择初等反射阵 使 , 其中 14（3.1）令则 15其中 (2) 第 步约化：重复上述过程，设对 已完成第1步 ，第 步正交相似变换，即有 或 16且 17其中 为 阶上海森伯 格阵， 设 ，于是可选择初等反射阵 使 ， 其中, 计算公式为 （3.2）18令 则 （3.3）其中 为 阶上海森伯格阵. 第 步约化只需计算及 (当 为对称阵时，只需计算 ). 19（3） 重复上述过程，则有 总结上述讨论，有 20定理17 （豪斯霍尔德约化矩阵为上海森伯格阵）设，则存在初等反射阵 使 算法1（豪斯霍尔德约化矩阵为上海森伯格型） 设 ，本算法计算 (上海森伯格型)， 其中 为初等反射阵的乘积
6、. (1) 计算初等反射阵 使 (2) 约化计算 21本算法约需要 次乘法运算，要明显形成 还需要附加 次乘法. 例7 用豪斯霍尔德方法将 矩阵约化为上Hessenberg阵. 22解 选取初等反射阵 使 ，其中 . (1) 计算 则有 23(2) 约化计算： 令 则 248.3.3 用正交相似变换约化对称阵为对称三 对角阵 定理18 （豪斯霍尔德约化对称阵为对称三对角阵）设为对称矩阵，则存在初等反射阵 使 25证明 由定理17，存在初等反射阵 使为上海森伯格阵, 且亦是对称阵，因此， 为对称三对角阵. 由上面讨论可知，当 为对称阵时,由 一步约化计算中只需计算 及 . 又由于 的对称性，故只
7、需计算 的对角线以下 元素. 注意到 引进记号 26则 算法2（豪斯霍尔德约化对称阵为对称三对角阵） 设为对称阵，本算法确定初等反射阵 使 （为对称三对角阵）. 的对角元 存放在数组 内， 的次对 角元素 存放在数组 内. 数组 最初可用来存放 及 ，确定 中向量 的分量存放在 的相应位置. 冲掉 ，约化 的结果冲27掉 ，数组 的上部分元素不变. 如果第 步不需要变换则 置 为零. 2829对对称阵 用初等反射阵正交相似约化为对称三对角阵大约需要 次乘法. 308.4 QR 方 法 8.4.1 QR算法 QR方法是一种变换方法，是计算一般矩阵（中小型矩 阵）全部特征值问题的最有效方法之一.
8、QR方法主要用来计算：（1）上海森伯格阵的全部特征 值问题，（2）计算对称三对角矩阵的全部特征值问题，且 QR方法具有收敛快，算法稳定等特点. 对于一般矩阵 （或对称矩阵），则首先用豪斯 霍尔德方法将 化为上海森伯格阵 （或对称三对角阵）， 然后再用QR方法计算 的全部特征值. 设 ，且对 进行QR分解，即 31其中 为上三角阵， 为正交阵，于是可得到一新矩阵 显然， 是由 经过正交相似变换得到，因此 与 特征 值相同. 再对 进行QR分解，又可得一新的矩阵，重复这一过 程可得到矩阵序列： 设 将 进行QR分解 作矩阵 求得 后将 进行QR分解 形成矩阵 32QR算法，就是利用矩阵的QR分解，
9、按上述递推法则 构造矩阵序列 的过程. 只要 为非奇异矩阵，则由QR 算法就完全确定 . 定理19（基本QR方法）设 . 构造QR算法： （4.1）记 ，则有 （1） 相似于 ，即 （2） （3） 的QR分解式为 33证明 （1）,（2）显然，现证（3）. 用归纳法，显然，当 时有 ，设有分解式 于是 其中利用了 由第5章定理30或定理31知，将 进行QR分解，即将用正交变换（左变换）化为上三角矩阵 34其中 , 故 这就是说 可由 按下述方法求得： （1） 左变换 (上三角阵）； （2） 右变换 定理20（QR方法的收敛性）设 , (1) 如果 的特征值满足： ； (2) 有标准型 其中 ， 且设 有三角分解 ( 为单位下三角阵， 为 上三角阵，则由QR算法产生的 本质上收敛于上三角35矩阵，即若记 ，则 （4.2）（4.3）当 时 极限不一定存在. 36定理21 如果对称矩阵 满足定理20的条件，则由QR 算法产生的 收敛于对角阵 . 关于QR算法收敛性的进一步结果为： 设 ，且 有完备的特征向量集合，如果 的 等模特征值中只有实重特征值或多重复的共轭特征值，则 由QR算法产生的 本质收敛于分块上三角矩阵（对角 块为一阶和二阶子块）且对角块中每一个22子块给出 的 一对共轭复特征值，每一个一阶对角子块给出 的实特征值， 即 37其中 为22子块，它给出 一对共轭特征值. 38
