《求积分的方法毕业论文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求积分的方法毕业论文（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、目目 录录摘 要.1关键词.1Abstract.1Keywords.1前 言.11.不定积分的求法.11.1 不定积分的换元法.11.2 不定积分的分部积分法.31.3 有理函数的不定积分.41.4 三角函数有理式的不定积分.81.5 某些无理根式的不定积分.92.定积分的求法.122.1 用定积分定义证明与计算定积分.122.2 牛顿莱布尼茨公式.132.3 利用递推关系或解方程.132.4 利用被积函数的某些性质.142.5 利用区间可加性.152.6 反常积分的求法.152.6.1 利用定积分的方法.152.6.2 利用欧拉积分.17参考文献.181求积分的方法求积分的方法学生姓名：陈晓
2、 学号：数学与信息科学学院 数学应用数学指导老师：郭淑利 职称：副教授摘摘 要：要：本文较系统的讨论了不定积分，定积分（包含反常积分）的各种求法。并从一些实例说明定义，性质及定理的如何应用。关键词：关键词：不定积分；换元积分法；分部积分法；定积分；反常积分The methods of calculating integrationAbstract: : This article discusses systemly the methods of calculating indefinite integral, the definite integra(including improper in
3、tegration). and we give some examples to show how to use the definition, properties and theorems to solve some actual problems.Keywords: indefinite integral; integration by substitution; integration by parts; definite integral; improper integration.前言前言积分是数学分析中的一个极为重要且应用广泛的概念，它是数学分析的主要研究对象之一，也是数学其他分
4、支、物理学以及工科许多课程的重要的理论工具。积分包括不定积分和定积分（含反常积分） ，本文先阐述了各种具体积分方法的定义及基本性质，辅以典型的例题，归纳总结了具体积分的常见的计算方法。1.不定积分的求法不定积分的求法1.1 不定积分的换元积分法不定积分的换元积分法由复合函数求导法，可以导出换元积分法定理定理 1 1(换元积分法) 设 g()在上有定义，在ba,上可导，u,)(xu2且，并记baxx,)(.,),()()(baxxxgxf(i)若在上存在原函数，则在ba,上也存在原函数)(ug,)(uG)(xf，即CxGxFxF)()(),(duugdxxxgdxxf)()()()(（1）.)(
5、)(CxGCuG(ii) 又若则上述命题(i)可逆，即当在ba,上存在, 0)(baxx)(xf原函数 F()时，g()在上也存在原函数 G()，且 G()=xu,uu，即CuF)(1dxxfdxxxgduug)()()()(（2） .)()(1CuFCxF证证 （i） 用复合函数求导法进行验证： )()()(xxGxGdxd).()()(xfxxg所以以为其原函数，(1)式成立)(xf)(xG( ii ) 在的条件下，存在反函数，且0)( x)(xu)(1ux.)(1)(1uxxdudx于是又能验证（2）式成立：)(1)()(1)()(1 xxfxxFuFdud )(1)()(xxxg)()
6、(ugxg上述换元积分法中的公式(1)与(2)反映了正、逆两种换元方式，习惯上分别称为第一换元积分法和第二换元积分法(公式(1)与(2)分别称为第一换元公式3与第二换元公式).也可把它写成如下简便形式：.)()()()()(CxGxdxgdxxxg例例 1 1 求. 122xxdx解解 解法一采用第一换元积分法： xdxxxxdxxxdx11111111 22322Cudu uu 221 1.112Cxx 解法二采用第二换元积分法(令)：txsec tdtdtttttxxdxcostansectansec1222.11sin2CxxCt.)arcsin(21222Cxaxaxa1.2 不定积分
7、的分部积分法不定积分的分部积分法由乘积求导法，可以导出分部积分法定理定理 2 2（分部积分法）若与可导，不定积分存在，则 xu xv dxxvxu也存在，并有= dxxvxu dxxvxu xu xv dxxvxu（1） 证证 由 xvxuxvxuxvxu或 ， xvxu xvxu xvxu对上式两边求不定积分，就得到(1)式公式(1)称为分部积分公式分部积分公式，常简写作vduuvudv例例 2 2 求和bxdxeIxcos1.sin2bxdxeIax4解解 bxdxebbxeaebxdaIaxaxaxsincos1cos11，2cos1bIbxeaax. 12sin1sin1bIbxeae
8、bxdaIaxax由此得到 .sin,cos2121 bxeaIbIbxebIaIaxax解此方程组，求得,cossincos221CbabxabxbebxdxeIaxax.cossinsin222CbabxbbxaebxdxeIaxax1.3 有理函数的不定积分有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为， (1)mmmnnnxxxx xQxPxR LL1 101 10 )()()(其中，为非负整数，与都是常数，且，nmn,10LmL,1000 若，则称它为真分式；若，则称它为假分式由多项式的00nm nm 除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式根据代数知识，
