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1、学而思教育学而思教育学习改变命运学习改变命运 思考成就未来！思考成就未来！ 高考网高考网 1483 抛物线方程及性质抛物线方程及性质一、明确复习目标掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质,了解圆锥曲线的初步应用二建构知识网络1抛物线的定义：抛物线的定义：到一个定点 F 的距离与到一条定直线 L 的距离相等的点的轨迹 2标准方程：标准方程：y2=2px, y2= -2px, x2=2py, x2= -2py (p0)图形略：图形略： 3几何性质几何性质：对于抛物线 y2=2px 要掌握如下性质： 对称轴, 顶点坐标,焦点坐标, 准线方程离心率 ,焦准距, 焦半经 rmin1ep20px
2、r2p4焦点弦： 对于 y2=2px,过焦点的弦 A(x1,y1)B(x2,y2)有,sin2221ppxxAB，2 21pyy4221pxx通径：过焦点垂直于轴的弦长为。2p5焦半径为直径的圆与 y 轴相切, 焦点弦为直径的圆与准线相切三、双基题目练练手1(2005 江苏)抛物线上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是（ 24xy ）ABCD01617 1615 872 (2005 上海)过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，xy42它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线（ ） A有且仅有一条B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在3 焦点在直线 x2y4=0 上
3、的抛物线的标准方程是 ( ) A y2=16x B y2=16x Cx2=8y D以上说法都不对4过抛物线的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若 PF 与 FQ)0(2aaxy学而思教育学而思教育学习改变命运学习改变命运 思考成就未来！思考成就未来！ 高考网高考网 14的长分别为 p、q,则等于 ( )qp11A B C D a2a21a4a45 下图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点 A（0，9），其轨迹方程是 y=ax2+c（a0），D=（6，7）为 x 轴上的给定区间为使物体落在 D 内，a 的取值范围是 _；Ax Oy6 76已知抛物线 y2=8x 上两个动点 A、B 及一
4、个定点 M（x0, y0） ，F 是抛物线的焦点，且 |AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于一点 N头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头则则点 N 的坐标是 _（用 x0表示） ； 简答简答：1-4BBDC； 4考虑特殊位置,令焦点弦 PQ 平行于轴,x5把点 A 的坐标（0，9）代入 y=ax2+c 得 c=9，即运动物体的轨迹方程为 y=ax2+9令 y=0，得 ax2+9=0，即 x2=a9若物体落在 D 内，应有 67，a9解得a 6.N(x0+4, 0)头 头头 头
5、 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 41 499四、经典例题做一做【例例 1】给定抛物线 y2=2x，设 A（a，0），a0，P 是抛物线上的一点， 且PA=d，试求 d 的最小值 解：设 P（x0，y0）（x00），则 y02=2x0，d=PA=2 02 0)(yax=02 02)(xax12)1 (2 0aaxa0，x00， （1）当 0a1 时，1a0，此时有 x0=0 时，dmin=a12)1 (2aa（2）当 a1 时，1a0，此时有 x0=a1 时，dmin=12 a学而思教育学而思教育学习改变命运学习改变命运
6、思考成就未来！思考成就未来！ 高考网高考网 14【例 2】过抛物线 y2=2px（p0）焦点 F 的弦 AB，点 A、B 在抛物线准线上的射影为 A1、B1，求A1FB1x yOA A B B F11解法 1：由抛物线定义及平行线性质知A1FB1=180（AFA1+BFB1）=180（180A1AF）（180B1BF）21 21=（A1AF+B1BF）=9021法 2：设弦 AB 的方程是：2,22pxmyypx代代得,2220ypmyp设 A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得 y1y2= -p2又,1122(,),(,)22ppAyAy1112(,),(,)FAp yFBp y
7、uuu ruuu r从而知A1FB1=902 11120FA FBpy yuuu r uuu r提炼方法： 1平面几何法与定义法结合,简捷高效;2 弦 AB 的方程是：(本题不存在 AB 垂直于 y 轴的情况),避开了斜率存2pxmy在性的讨论,解题中应注意灵活运用【例例 3】 如下图所示，直线 l1和 l2相交于点 M，l1l2，点 Nl1，以 A、B 为端点的 曲线段 C 上任一点到 l2的距离与到点 N 的距离相等若AMN 为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段 C17的方程解：以直线 l1为 x 轴，线段 MN 的垂直平分线为 y 轴，建立
8、直角坐标系，由条件可知，曲线段 C 是以点 N 为焦点，以 l2为 准线的抛物线的一段其中 A、B 分别为曲线段 C 的端点 设曲线段 C 的方程为 y2=2px（p0）（xAxxB，y0），其中 xA、xB为 A、B 的横坐 标，p=|MN|，所以 M（，0） 、N（，0）2p 2p由|AM|=，|AN|=3，得17ABNMll12学而思教育学而思教育学习改变命运学习改变命运 思考成就未来！思考成就未来！ 高考网高考网 14（xA+）2+2pxA=17， 2p（xA）2+2pxA=9 2p联立解得 xA=，代入式，并由 p0，p4p=4， p=2， xA=1 xA=2 因为AMN 为锐角三角
9、形，所以xA2pP=2， P=4， xA=2 xA=1由点 B 在曲线段 C 上，得 xB=|BN|=42p综上，曲线段 C 的方程为 y2=8x（1x4，y0） 提炼方法： 1熟练运用定义确定曲线 C 是抛物线段; 2合理选择坐标系,确定标准方程; 3运用距离公式求出标准方程中的待定系数; 4特别注意范围的限定【例例 4】(2005 全国卷)设两点在抛物线上，l 是 AB 的),(),(2211yxByxA22xy 垂直平分线（）当且仅当取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点 F？证明你的结论；21xx ()当直线 l 的斜率为 2 时，求 l 在 y 轴上截距的取值范围解：（）两点到抛物线的
10、准线的BAFBFAlF,|距离相等抛物线的准线是 x 轴的平行线，不同时为 0，2121, 0, 0yyyy依题意上述条件等价于; 0)(21212 22 121xxxxxxyy， 上述条件等价于 21xx . 021 xx即当且仅当时，l 经过抛物线的焦点 F021 xx另解：（）抛物线，即，22xy 41,22pyx焦点为 1(0, )8F（1）直线 的斜率不存在时，显然有 l021 xx解得或故舍去所以学而思教育学而思教育学习改变命运学习改变命运 思考成就未来！思考成就未来！ 高考网高考网 14（2）直线 的斜率存在时，设为 k，截距为 bl 即直线 ：y=kx+b 由已知得：l1212
11、1212221kbkyyxxyy xx 2212122212122212222kbkxxxxxx xx 2212 12122 1 2kbkxxxxxx 2212104bxx 1 4b即 的斜率存在时，不可能经过焦点 l1(0, )8F所以当且仅当=0 时，直线 经过抛物线的焦点 F 12xxl（II）(理)设 l 在 y 轴上的截距为 b，依题意得 l 的方程为；过点 A、Bbxy 2的直线方程可写为，所以满足方程得mxy2121,xx, 02122mxx；4121 xxA，B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式, 0841m即.321m设 AB 的中点 N 的坐标为，则),(00yx
12、.161 21,81(2100210mmxyxxx由.329 321 165 165,41 161,mbbmlN于是得即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为（）,329法二法二: :y1=2=2x1 12 2, , y2=2=2x2 22 2, , 相减得相减得12 1200 1212()4,4,2yyxxxxxx即, ,0011,84xyb 中点在抛物线内必中点在抛物线内必2 009232yxb得【研讨欣赏研讨欣赏】(2005 山东文)已知动圆过定点，且与直线相切，其中,02p2px 0p 学而思教育学而思教育学习改变命运学习改变命运 思考成就未来！思考成就未来！ 高考网高考网 14（I）求
13、动圆圆心的轨迹的方程；C （II）设 A、B 是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为COOAOB和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标, 4AByAxoB,02pFMN2px 解：（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂M,02pFM2px 线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相NMFMNMF2px 等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，M,02pF2px 所以轨迹方程为22(0)ypx P（II）如图，设，由题意得。又直线的倾斜角1122,A x yB xy12,0x x ,OA OB满足，故。直线的斜率存在，否则，的倾, 40,4 AB,OA OB斜角。从而设直线的方程为，显然，将与ABykxb22 12 12,22yyxxppykxb220ypx p联立消去，得由韦达定理知x2220kypypb121222,ppbyyyykk由，得4。12121212 2 1212121222 2tantan1tantan()2241tantan411yypp p yyxxyy y yppy y
