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1、.专题 2： 因动点产生的相切问题 1 2013 年上海市杨浦区中考模拟第 25 题如图 1，已知O 的半径长为 3，点 A 是O 上一定点，点 P 为O 上不同于点 A 的动点（1）当 时，求 AP 的长；tan2A（2）如果Q 过点 P、O，且点 Q 在直线 AP 上（如图 2） ，设 APx，QP y，求 y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当 时（如图 3） ，存在M 与O 相内切，同时与Q4tanA相外切，且 OMOQ，试求 M 的半径的长图 1 图 2 图 3 动感体验请打开几何画板文件名“13 杨浦 25”，拖动点 P 在O 上运动，可以体验到，
2、等腰三角形QPO 与等腰三角形 OAP 保持相似，y 与 x 成反比例 M、O 和Q 三个圆的圆心距围成一个直角三角形请打开超级画板文件名“13 杨浦 25”，拖动点 P 在O 上运动，可以体验到， y 与 x 成反比例拖动点 P 使得 ，拖动点 M 使得M 的半径约为 0.82， M 与O 相内切，52Q同时与Q 相外切拖动点 P 使得 ，拖动点 M 使得 M 的半径约为 9，M 与O、Q 都内切思路点拨1第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理2第（2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似3第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程.满分
3、解答（1）如图 4，过点 O 作 OHAP，那么 AP2AH在 RtOAH 中，OA3， ，设 OHm，AH2m，那么 m2(2m) 23 21tanA解得 所以 5m524PH（2）如图 5，联结 OQ、OP，那么QPO、OAP 是等腰三角形又因为底角P 公用，所以QPOOAP 因此 ，即 QOA3yx由此得到 定义域是 0x69图 4 图 5（3）如图 6，联结 OP，作 OP 的垂直平分线交 AP 于 Q，垂足为 D，那么 QP、QO 是Q 的半径在 RtQPD 中， ， ，因此 132PDO4tan3PA2P如图 7，设M 的半径为 r由 M 与O 内切， ，可得圆心距 OM3rO由
4、M 与Q 外切， ，可得圆心距 52QrP52QM在 RtQOM 中， ，OM3r， ，由勾股定理，得r解得 2255()(3)(r91.图 6 图 7 图 8考点伸展如图 8，在第（3）题情景下，如果M 与O、Q 都内切，那么M 的半径是多少？同样的，设M 的半径为 r由 M 与O 内切， ，可得圆心距 OMr33O由 M 与Q 内切， ，可得圆心距 52QrP52在 RtQOM 中，由勾股定理，得 解得 r922()(3)(r2 2012 年河北省中考第 25 题如图 1，A( 5,0)，B(3,0)，点 C 在 y 轴的正半轴上，CBO45 ，CD/AB，CDA 90 点 P 从点 Q(
5、4,0)出发，沿 x 轴向左以每秒 1 个单位长的速度运动，运动时间为 t 秒（1）求点 C 的坐标；（2）当BCP 15时，求 t 的值；（3）以点 P 为圆心，PC 为半径的P 随点 P 的运动而变化，当P 与四边形 ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求 t 的值图 1动感体验请打开几何画板文件名“12 河北 25”，拖动圆心 P 在点 Q 左侧运动，可以体验到，P可以与直线 BC、直线 DC、直线 AD 相切，不能与直线 AB 相切答案 （1）点 C 的坐标为 (0,3)（2）如图 2，当 P 在 B 的右侧，BCP 15 时，PCO30， ；43t.如图 3，当 P 在 B 的左
6、侧，BCP 15 时，CPO30， 43t图 2 图 3（3）如图 4，当P 与直线 BC 相切时，t1；如图 5，当P 与直线 DC 相切时，t 4；如图 6，当P 与直线 AD 相切时，t 5.6图 4 图 5 图 63 2012 年无锡市中考模拟第 28 题如图 1，菱形 ABCD 的边长为 2 厘米，DAB60点 P 从 A出发，以每秒 厘米的速度沿 AC 向 C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从点 A 出发，以每秒 1 厘米的速度沿射线作匀速运动当点 P到达点 C 时，P、Q 都停止运动设点 P 运动的时间为 t 秒（1）当 P 异于 A、C 时，请说明 PQ/BC；（2）以 P 为
7、圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，P 与边 BC 分别有 1 个公共点和 2 个公共点？ 图 1 动感体验请打开几何画板文件名“12 无锡 28”，拖动点 P 由 A 向 C 运动，可以体验到，P 与线段 BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有 1 个公共点，相交有 2 个公共点，相交只有 1 个公共点，线段在圆的内部没有公共点请打开超级画板文件名“12 无锡 28”，拖动点 P 由 A 向 C 运动，可以体验到，P 与线.段 BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有 1 个公共点，相交有 2 个公共点，相交只有 1 个公共点，线段在圆的内部没有
8、公共点答案 （1）因为 ， ，所以 因此 PQ/BC2AQtB32PtCAQPBC（2）如图 2，由 PQPH ，得 解得 1(3)tt436t如图 3，由 PQPB ，得等边三角形 PBQ所以 Q 是 AB 的中点，t1如图 4，由 PQPC，得 解得 23ttt如图 5，当 P、C 重合时，t2因此，当 或 1t 或 t2 时，P 与边 BC 有 1 个公共点36t当 t1 时，P 与边 BC 有 2 个公共点4图 2 图 3 图 4 图 5专题 3：因动点产生的面积问题1 2013 年苏州市中考第 29 题如图 1，已知抛物线 （b、c 是常数，且 c0）与 x 轴交于 A、B 两点21
9、yx（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴的负半轴交于点 C，点 A 的坐标为(1,0) （1）b_，点 B 的横坐标为_（上述结果均用含 c 的代数式表示） ；（2）连结 BC，过点 A 作直线 AE/BC，与抛物线交于点 E点 D 是 x 轴上一点，坐标为(2,0)，当 C、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一动点，连结 PB、PC设PBC的面积为 S求 S 的取值范围；若PBC 的面积 S 为正整数，则这样的 PBC 共有_个.图 1 动感体验请打开几何画板文件名“13 苏州 29”，拖动点 C 在 y 轴负半轴
10、上运动，可以体验到，EHA 与COB 保持相似点击按钮“C、D、E 三点共线”，此时EHDCOD 拖动点 P 从A 经过 C 到达 B，数一数面积的正整数值共有 11 个请打开超级画板文件名“13 苏州 29”，拖动点 C 在 y 轴负半轴上运动，可以体验到，EHA 与COB 保持相似点击按钮“C、D、E 三点共线”，此时EHDCOD 拖动点 P 从A 经过 C 到达 B，数一数面积的正整数值共有 11 个思路点拨1用 c 表示 b 以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现 OB2OC2当 C、D、E 三点共线时，EHA COB， EHDCOD3求PBC 面积的取值范围，要分两种情况计算，P
11、 在 BC 上方或下方4求得了 S 的取值范围，然后罗列 P 从 A 经过 C 运动到 B 的过程中，面积的正整数值，再数一数个数注意排除点 A、C、B 三个时刻的值满分解答（1）b ，点 B 的横坐标为2c c（2）由 ，设 E 1()(1)2yxxc1(,)(2xc过点 E 作 EHx 轴于 H由于 OB2OC，当 AE/BC 时，AH2EH 所以 因此 所以 1()cxc(,1)c当 C、D、E 三点在同一直线上时， 所以 ECOD2整理，得 2c23c 20解得 c2 或 （舍去） .所以抛物线的解析式为 213yx（3） 当 P 在 BC 下方时，过点 P 作 x 轴的垂线交 BC
12、于 F直线 BC 的解析式为 12y设 ，那么 ， 213(,)m(,)Fm21m所以 SPBCS PBFS PCF 224()42BCPx因此当 P 在 BC 下方时，PBC 的最大值为 4当 P 在 BC 上方时，因为 SABC5，所以 SPBC5综上所述，0S5若PBC 的面积 S 为正整数，则这样的 PBC 共有 11 个考点伸展点 P 沿抛物线从 A 经过 C 到达 B 的过程中，PBC 的面积为整数，依次为（5） ，4，3，2，1， （0） ，1，2，3，4，3，2，1， （0） 当 P 在 BC 下方，S4 时，点 P 在 BC 的中点的正下方，F 是 BC 的中点2 2012
13、年菏泽市中考第 21 题如图 1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为 A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90，得到三角形 ABO（1）一抛物线经过点 A、B、B，求该抛物线的解析式；（2）设点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点 P，使四边形 PBAB 的面积是 ABO 面积的 4 倍？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形 PBAB 是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质.图 1动感体验请打开几何画板文件名“12 菏泽 21”，拖动点 P 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形 PBAB 是等腰梯形时，四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍请打开超级画板文件名“12 菏泽 21”，拖动点 P 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形 PBAB 是等腰梯形时，四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍思路点拨1四边形 PBAB 的面积是A BO 面积的 4 倍，可以转化为四边形 PBOB 的面积是ABO 面积的 3 倍2联结 PO，四边形 PBOB 可以分割为两个三角形3过点向 x 轴作垂线，四边形 PBOB 也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形满分解答（1）AOB 绕着原点 O 逆时针旋转 90，点 A、B 的坐标分别为
