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1、1长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练可换矩阵的若干性质系 （部）： 信息与计算科学 专 业： 数学与应用数学 学 号： 2009031118 _学 生 姓名： 贺 琼 _成 绩： 2012 年 月1可交换矩阵的一些性质贺琼长沙学院 信息与计算科学系, 湖南 长沙, 410022摘要：矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的,即在通常情况下,.BAAB 但在某些特殊情况下,矩阵的乘法也能满足交换律.本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发,分析并总结归纳一般矩阵和特殊矩阵（如对角矩阵）可交换情况下的一些性质,矩阵是高等代数中一个重要内容，在数学领域以及其他科学领域有着重大的理论意义.因此研究可交换
2、矩阵对我们学习矩阵有着重要的帮助.关键词：矩阵，可交换矩阵，对角矩阵1 引言关于可交换性矩阵的很多性质,我们在学习的过程中已经经常运用,并都为我们所熟知, 本章主要介绍可交换性矩阵的一些基本概念及可交换矩阵的若干性质.文献1是高等代数的内容本文主要引用了其中有关矩阵的一些相关概念文献2主要探讨了可交换矩阵的一些性质.文献3主要探讨了矩阵可交换的条件以及可交换矩阵的一些性质. 文献4对可交换矩阵做了一系列的研究，其中包括利用置换矩阵的相似变换把可约矩阵变换成不可约的Frobenius标准型后来讨论一般的矩阵的可交换性，特别是和全非零模式矩阵的可交换的必要条件等本文主要矩阵的基本定义出发，总结了可
3、交换矩阵的一些性质，从而使得让我们对研究可交换矩阵的重要性有一个初步的了解2 矩阵的基本定义与相关概念定义 2.1 1 若阶方阵满足,其中为阶单位矩阵,nBA，EBAABEn则有,.BA1AB12定义 2.21 设矩阵为同阶方阵,若,则称与可交换.B,ABAAB AB定义 2.31 设均为对角矩阵，则与可交换.B,AAB定义 2.41 设均为准对角矩阵，则与可交换.B,AAB定义 2.51 设矩阵为方阵,若称为阶对角A), 2 , 1,(, 0njijiaijLAn矩阵,记. nnnn aa )a,a,a(diagA 00112211OL定义 2.61 若阶方阵中元素nnnijaA)(，且)(
4、2211Raaann，L)(0jiaij称此时的为数量矩阵.记，其中为阶单位矩阵.AEAEn定义 2.71 若阶方阵满足,其中为阶单位阵，则称nAEAAAAEn为阶正交矩阵.An定义 2.81 若阶方阵满足，其中为的转置矩阵，则称nAAA AA为对称矩阵.A定义 2.91 若阶方阵满足，其中为的转置阵，则称为nAAAAAA反对称矩阵.定义 2.101 如果对于矩阵与矩阵存在可逆矩阵,使得，ABC1C ACB则称矩阵与矩阵相似，在这里对于置换矩阵有.ABP1TP APBP AP3 可交换矩阵的一些性质性质3.12 数量矩阵与所有方阵可交换.AE ijn nBb证明 因为，故与可交换.EBBEB
5、EAB性质 3.22 设矩阵与可交换的充分必要条件是. ABABA B 证明 “” 与可交换，即，两边取转置ABBAAB ，ABBA因为，所以BAA B .ABA B “” 由矩阵的运算性质，又已知条件，所以BAA B ABA B ，两边分别取它们的转置，得.BAA B BAAB 性质 3.32 可逆矩阵、可交换的充分必要条件是.AB111ABA B证明 “” 由，两边取逆阵，又BAAB 11ABBA，故得到.111BAA B111ABA B3“” 由已知条件,与,存在且唯一，由矩阵运算性质，1A1B1AB1BA有，又，于是，两端取逆阵，得111BAA B111ABA B11ABBA.BAAB
6、 性质 3.42 , ,则矩阵、可交换的充分必要条件是1APCP1BPDPAB、可交换.CD证明 因，得：BAAB 1APCP1BPDP，1CPAP1DPBP,1111CDPAPPBPP AB PP BA PDC所以、可交换.CD性质 3.52 如与可交换，则在复数域上、至少有一个公共的特ABAB征向量.证明 设是复数域上维线性空间，是的一组基，Vn12,.,na aaV，使 tV， 1212,.,.,nnaaaa aaA， 1212,.,.,nnaaaa aaB由于，因此.所以在复数域上，必有特征值并存在非令向量BAAB 使得，故，又，所以为与的公共a 0aa 0aaa 0aaa的特征向量.
7、数域上的特征向量为，在下的向量组是aa12,.,na aa12,.,nk kk与的公共的特征向量.AB性质 3.63 设可交换，则有：BA，(1)，其中都是正整数；,kmmkkllABB AABA BA BBA, ,m k l(2)，其中是的多项式，即与的多项式可交换； Af Bf B A f BBAB(3) 121121.mmmmmmmmABABAABBAABBAB(4)（矩阵二项式定理） 0mmkm kk m kABC AB证明 (1)由可得BAAB ，1.mmmmmABABB BBABB BBB BAB A1 2 31 2 31 4 2 4 3同理可证,kkkllABA BA BBA(2
8、)由(1)可证明(3)、(4)对可用数学归纳法证得m性质 3.73 设可交换，则有：BA，(1)若均为对合矩阵，则也为对合矩；BA，AB4(2)若均为幂等矩阵，则，也为幂等矩阵；BA，ABABAB(3)若均为幂幺矩阵，则也为幂幺矩阵；BA，AB(4)若均为幂零矩阵，则，均为幂零矩阵BA，ABAB证明 (1)由可证得；2222ABA BEE(2)由及222ABA BAB 2222222222222ABABABA BABA BBABABABABABABABAB即可证得；(3)由即可证得；2kkkABA BEE(4)设，取，则，即为幂零矩阵；0,0klAB max,hk l0hhhABA BAB令，
9、则1mkl ，00mmkm kk m kABC AB所以为幂零矩阵AB例13 设与所有的阶矩阵均可交换，则一定是数量矩阵AnA证明 记，用将第 行第列的元素表示为1，而其余元素为 ijn nAaijEij零的阶矩阵因与任何矩阵均可交换，所以必与可交换n nAijE由ijijAEE A得及,1,2.,iijjaai jn0, ,1,2,.,ijaij i jn故是数量矩阵A例23 （1）设矩阵为对角矩阵，12,.,nAdiag a aa其中时，ij，,1,2,.,ijaai jn则可交换的充要条件的是为对角矩阵BA，B（2）设为准对角矩阵，其中时，1122,.,rrAdiag a E a Ea
10、Eij，是阶单位矩阵，则可交换的充要,1,2,.,ijaai jrrErnrr ijnnBA，条件的是为准对角矩阵B证明 (1)若均为对角矩阵，则由定义1.1.3可知可交换；BA，BA，若与可交换，时，B12,.,nAdiag a aaij,1,2,.,ijaai jn 设5， ,ijijijn nn nn nBbABCBAd因为为对角矩阵， 所以A,1,2,.,ijiijijjijcab da bi jn由，即得BAAB ,1,2,.,ijijcdi jn0ijijaab而时，ij，0 ,1,2,.,ijaai jn故，0, ,1,2,.,ijbij i jn所以即证得为对角矩阵B仿(1)不
11、难证明(2)4 关于特殊的二阶、三阶方阵可交换的一些性质性质 4.14 型如akxAxa的二阶方阵的可交换阵为二阶方阵（其中为任意实数） bkyByb, , , ,a b k x y性质 4.24 型如（且）1112220aaAa1122aa的二阶上三角阵的可交换阵仍旧是二阶上三角阵（且，其中为任意实数） 1112220bbBb1122bb,1,1,2ijija bij性质 4.34 型如（且）1112132223330 00aaa Aaa a 112233aaa的三阶上三角阵的可交换阵仍旧是三阶上三角阵1112132223330 00bbb Bbb b 6（这里其中为任意实数） 112233
12、,bbb12122323ab ab,1,2;1,2,3ijija bij性质 4.44 型如0 0 00bx Abx b 的三阶方阵的可交换阵为三阶方阵（其中为任意实数） 00 00000k Bk , ,b x k5 关于特殊的 阶上三角阵可交换的一些性质n型如(5.1)12312121. 0.000. 000.nnaaaa aaa Aa a MMM OM的上三角形矩阵若约定矩阵(5.1)的对角线从主对角线向右上数起，则第一条对角线上的元素皆为，第二条对角线上的元素皆为,针对型如(5.1)1a2,.,naa的矩阵有如下结论 引理 5.14 与阶方阵n010.00 001.0000001 000
13、00D M M M OM M L L的可交换矩阵型如(5.1)性质5.14 阶方阵能同一切型如(5.1)的阶方阵可交换的充要条件nAn是方阵也是型如(5.1)的阶方阵An证明 必要性：方阵能同一切型如(5.1)的阶方阵可交换，则与An010.00 001.0000001 00000D M M M OM M L L7也可交换，由引理知方阵为型如(5.1)的阶方阵An充分性：设，12312121. 0.000. 000.nnaaaa aaa Aa a MMM OM12312121. 0.000. 000.nnbbbb bbb Bb b MMM OM其中是任意数，通过矩阵的乘法比较和，易证得,1,2,.,ija binABBAABBA性质5.24 第一行为的型如(5.1)的矩阵是可逆的， 121,.,0na aaa A且它的逆矩阵仍为主对角线上元素皆为的型如(5.1)的矩阵1 1a证明 易证是可逆的
