《排列、组合、二项式定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排列、组合、二项式定理（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高二数学期末复习高二数学期末复习排列组合二项式定理（排列组合二项式定理（1）一一 知识点复习知识点复习1 分类计数原理：完成一件事，有类办法，在第 1 类办法中，有1m种不同的方法，在第 2 类办法中，有2m种不同的方法，在第类办法中，有nm种不同的方法，那么完成这件事共有N1m2mnm种不同的方法2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成个步骤，做第 1 步，有1m种不同的方法，做第 2 步，有2m种不同的方法，做第步，有nm种不同的方法，那么完成这件事共有N1m2mnm种不同的方法3.排列：一般地，从个不同元素中取出（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做 从个不同元素中取出个元素的一个排列
2、. 4.全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的全排列. 5. 排列数：从个不同元素中取出（）个元素的所有排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数.用符号m nA表示.6. 阶乘：正整数 1 到的连乘积，叫做的阶乘，用！表示. 规定：0！1 7.组合：一般地，从个不同元素中取出（）个元素并成一组，叫做从个不同元素中 取出个元素的一个组合. 8.组合数：从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数叫做从个不同元素中取出个元素的组合数.用符号m nC表示9 （1）排列数公式 )1()3)(2)(1( mnnnnnAmn（2）组合数公式nmnnnnn AACm mm nm n)
3、1()3)(2)(1( （3）组合数的两个性质 mn nm nCC 规定：10nC 1 1 m nm nm nCCC10 二项式定理：*222110,)(NnbCbaCbaCbaCaCbann nrrnr nn nn nn nn 11.二项式系数的性质： （1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式mn nm nCC得到. （2）增减性与最大值. 二项式系数), 2 , 1 , 0(nrCr n ，当21n时，二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值.当是偶数时，中间的一项取得 最大值；当是奇数时，中间的两项相等，且
4、同时取得最大值.（3）各二项式系数的和.nba)( 的展开式的各个二项式系数的和等于n2.)!( ! mnmnCm n)!(! mnnAmn典型例题 例例 11从 1,2，3，,10 中选出 3 个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有多少个？解：设三个数依次为 a,b,c 则 a+c=2b，故共有 2402 5A 例例 22集合 A1,2，3,4，集合 B1，2，可建立多少个以 A 为定义域 B 为值域的不同函 数？解：从集合 A 到集合 B 的映射共有42=16 个，只有都与1，或2 对映的两个映射不符合题意，故以 A 为定义域 B 为值域的不同函数共有 16214 个或例例
5、3以三棱柱的顶点为顶点共可组成多少个不同的三棱锥？解：解：在三棱柱的六个顶点中任取 4 个顶点有4 6C15 取法，其中侧面上的四点不能构成三棱锥，故有15312 个不同的三棱锥. 例例 44 4 名男生和 3 名女生并坐一排，分别回答下列问题： （1）男生必须排在一起的坐法有多少种？（2）女生互不相邻的坐法有多少种？ （3）男生相邻、女生也相邻的坐法有多少种？（4）男女生相间的坐法有多少种？ （5）女生顺序已定的坐法有多少种？解：解：从整体出发，视四名男生为一整体，看成一个“大元素”，与三名女生共四个元素进行排列，有4 4A种坐法；而大元素内部的小元素间又有4 4A种坐法.故共有4 4A4
6、4A576 种坐法.因为女生 互不相邻，故先将 4 名男生排好，有4 4A种排法；然后在男生之间及其首尾的 5 个空档中插入 3 名女生，有3 5A种排法.故共有4 4A3 5A1440 种排法.类似（1）可得：3 34 42 2AAA288 种男生排好后，要保证男生互不相邻、女生也互不相邻，3 名女生只能排在男生之间的 3 个空档中，有3 3A种排法.故共有4 4A3 3A144 种排法.7 个元素的全排列有7 7A种，因为女生定序，而她们的顺序不固定时有3 3A排法，可知7 7A中重复了3 3A次，故共有7 7A3 3A4 7A840 种排法.本题还可这样考虑：让男生先占 7 个位置中的
7、4 个，共有4 7A种排法；余下的位置排女生，因为女生定序，故她们只有 1 排法，从而共有4 7A840 种排法. 例例 55 某运输公司有 7 个车队，每个车队的车均多于 4 辆，现从这个车队中抽调出 10 辆车，并且每个 车队至少抽调一辆，那么共有多少种不同的抽调方法？解：在每个车队抽调一辆车的基础上，还须抽调的 3 辆车可分成三类：从一个车队中抽调，有1 7C7种；从两个车队中抽调，一个车队抽 1 辆，另一个车队抽两辆，有2 7A42 种；从三个车队中抽调，每个车队抽调一辆，有3 7C35 辆.由分类计数原理知，共有 7423584 种抽调方法.14)! 2(2 23 42 22 4AC
8、CC本题可用档板法来解决：由于每个车队的车均多于 4 辆，只需将 10 个份额分成 7 份.具体来讲， 相当于将 10 个相同的小球，放在 7 个不同的盒子中，且每个盒子均不空.可将 10 个小球排成一排，在相互之间的九个空档中插入 6 个档板，即可将小球分成 7 份，因而有6 9C84 种抽调方法. 例例 66 已知n xx)21(4的展开式前三项中的x的系数成等差数列.（1）求展开式中所有的x的有理项；（2）求展开式中系数最大的项. 解：解：（1）展开式前三项的系数分别为) 1(81)21(,221, 12221nnCnCCnnn.由题设可知：) 1(81122nnn解得：8 或1（舍去）
9、.当8 时，rrr rxxCT )2()(48 81rrrxC43482.据题意，4r43必为整数，从而可知r必为 4 的倍数，而 0r8，r0,4，8.故x的有理项为：4 1xT ，xT8355，2 92561xT .（2）设第r1 项的系数1rt最大，显然1rt0，故有rr tt11 且12rr tt1.rr tt1rr CCrrrr29 2211 88 ，由rr 291，得r3.12rr ttrr CCrrrr8) 1(2 22811 8，由rr 8) 1(21，得r2.r2 或r3，所求项分别为2537xT 和4747xT .例例 7 设4 43 32 2104)32(xaxaxaxa
10、ax，则 2 312 420)()(aaaaa的值为 排列组合二项式练习题（1） ( )1.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加迎新座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，不同的选法共有（ D ） A140 种 B 120 种 C35 种 D34 种( )2.在一条南北方向的步行街同侧有 8 块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求 相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有 ( A )A55 B56 C46 D45 ( )3 将 5 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的 个数不小于该盒子的编号，不同的放球方法有( C
11、 )A15 种 B20 种C25 种 D32 种( )4 由 0，1，2，3，4 这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列,则= A（）2014（）2034（）1432（）1430na19a( )5.将 4 名新来的同学分配到 A、B、C 三个班级中，每个班级至少安排 1 名学生，其中甲同学不能分配到 A 班，那么不同的分配方案有 B A. 18 种 B. 24 种 C. 54 种 D. 60 种( )6.在某次数学测验中，学号)4 , 3 , 2 , 1( ii的四位同学的考试成绩98,96,93,92,90)( if， 且满足)4()3()2() 1 (ffff，
12、则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为（ D ）学科网A9 种 B5 种 C23 种 D15 种学科网 ( )7 将 1，2，3，9，这 9 个数填在如图的 9 个空格中，要求每一行 从左到右，每一列从上到下依次增大，当 3，4 固定在图中位置时，所填写空 格的方法有（A）A. 6 种 B. 12 种 C.18 种 D. 24 种 ( )8.正五边形 ABCDE，若把顶点 A、B、C、D、E 染上红、黄、绿、三 种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有（ A ） A. 30 种 B. 27 种 C. 24 种 D. 21 种( )9.某班级有一个 7 人小组，现任
13、选其中 3 人相互调整座位，其余 4 人座位不变，则不同的调整 方案的种数有( B ) A35 B70 C210 D105学科 ( )10.将数字 1，2，3，4，5，6 拼成一列，记第 个数为，若，ii(i126)aL，11a 33a ，则不同的排列方法种数为（ B ）A18B30C36D4855a 135aaa( )11 .将数字 3，4，5，6，7 排成一行，使得相邻两个数都互质，则可能的排列方法共有（ D） 种 A.30 B.48 C.42 D.36 （A5 52C1 2A4 4+A2 2A3 3=36）( )12 将、四个球放入编号为，的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且、( 两个
14、球不能放在同一盒子中，则不同的放法有 （ C ）A15 B18 C30 D36 ( )13.若，其中，并且1010|012 2aaaxxnm，ia5, 4, 3, 2, 1)2 , 10(，i ，则实数对表示平面上不同点的个数为（A）(A) 32 (B) 40 (C) 50 735 nm),(nm(D) 75( )14 已知=（ A ）810 102 21010,)2(axaxaxaax则LA180B-180C45D-45.( )15 若二项式213n xx的展开式中各项系数的和是 512，则展开式中的常数项为 ( B )学( 网A3 927C B3 927C C4 99C D94 9C学( )16.二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（ A ）4 31(2)3nxxnA7 B12 C14 D5( )17 在（的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（B ）n xx)1 23A-7 B7
