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1、 1 / 11圆锥曲线相关要点整理圆锥曲线相关要点整理一一椭圆椭圆的第一定义椭圆的第一定义平面内与两定点 F、F的距离的和等于常数 2a(2a|FF|)的动点P 的轨迹叫做椭圆。即：PF+PF=2a其中两定点 F、F叫做椭圆的焦点，两焦点的距离FF叫做椭圆的焦距。椭圆的第二定义椭圆的第二定义平面上到定点 F 距离与到定直线间距离之比为常数 e(即椭圆的偏心率，e=c/a)的点的集合（定点 F 不在定直线上，该常数为小于1 的正数）其中定点 F 为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是 x=a2/c 或者 y=a2/c)。切线与法线的几何性质切线与法线的几何性质定理定理 1：设 F1
2、、F2 为椭圆 C 的两个焦点，P 为 C 上任意一点。若直线 AB 切椭圆 C 于点 P，则APF1BPF2。定理定理 2：设 F1、F2 为椭圆 C 的两个焦点，P 为 C 上任意一点。若直线 AB 为 C 在 P 点的法线，则 AB 平分F1PF2。2 / 11标准方程标准方程在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：1）焦点在 X 轴时，标准方程为：x2/a2+y2/b2=1 (ab0)2）焦点在 Y 轴时，标准方程为：x2/b2+y2/a2=1 (ab0)其中 a0，b0。a、b 中
3、较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当 ab时，焦点在 x 轴上，焦距为 2*(a2-b2)0.5，焦距与长.短半轴的关系:b2=a2-c2 ,准线方程是 x=a2/c 和 x=-a2/c又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在 X 轴或 Y 轴时，方程可设为 mx2+ny2=1(m0，n0，mn)。既标准方程的统一形式。椭圆的面积是 ab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的3 / 11参数方程是：x=acos ， y=bsin标准形式的椭圆在(x0，y0)点的切线就是 ： xx0/a
4、2+yy0/b2=1一般方程一般方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 (A.C 不为不为 0)各种相关计算公式：各种相关计算公式：椭圆的面积公式椭圆的面积公式S=(圆周率)ab(其中 a,b 分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).或 S=(圆周率)AB/4(其中 A,B 分别是椭圆的长轴,短轴的长).椭圆的周长公式椭圆的周长公式1. 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点 P 到某焦点距离为 PF，到对应准线距离为 PL，则 e=PF/PL2. 椭圆的准线方程 x=a2/C3. 椭圆的离心率公式 e=c/a(e2c)4. 椭圆的焦准距 ：
5、椭圆的焦点与其相应准线(如焦点（c,0）与准线 x=+a2/C)的距离,数值=b2/c5. 椭圆焦半径公式 PF1=a+ex0 PF2=a-ex0椭圆过右焦点的半径 r=a-ex 过左焦点的半径 r=a+ex6. 椭圆的通径通径：过焦点的垂直于 x 轴（或 y 轴）的直线与椭圆4 / 11的两交点 A,B 之间的距离，数值=2b2/a7. 点与椭圆位置关系 点 M（x0，y0） 椭圆方程x2/a2+y2/b2=1(1).点在圆内： x02/a2+y02/b21(2).点在圆上： x02/a2+y02/b2=1(3).点在圆外： x02/a2+y02/b218. 直线与椭圆位置关系y=kx+m
6、x2/a2+y2/b2=1 由可推出 x2/a2+（kx+m）2/b2=1相切=0相离0 无交点相交0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2)|AB|=d = (1+k2)|x1-x2| = (1+k2)(x1-x2)2 = (1+1/k2)|y1-y2| = (1+1/k2)(y1-y2)25 / 11二双曲线双曲线的第一定义双曲线的第一定义指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点 F1,F2 的距离之差的绝对值绝对值始终为一定值 2a(2a 小于 F1 和 F2 之间的距离即2a1表示的点集是双曲线.注意注意:定点定点 F 要在定直线外要在定直线外 且且 比值大于比值大于 1
7、.3.标准方程标准方程设 动点 M(x,y),定点 F(c,0),点 M 到定直线 l:x=a2/c 的距离为 d,则由 |MF|/d=e1.推导出的双曲线的标准方程为(x2;/a2;)-(y2;/b2;)=1其中 a0,b0,c2;=a2;+b2;.这是中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线标准方程.而中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线标准方程为:(y2;/a2;)-(x2;/b2;)=1.同样的：其中 a0,b0,c2;=a2;+b2;.双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质1、轨迹上一点的取值范围、轨迹上一点的取值范围：xa,x-a（焦点在 x 轴上）或者ya,y-a（焦点在 y 轴上
8、） 。2、对称性、对称性：关于坐标轴和原点对称。3、顶点、顶点：A(-a,0)， A(a,0)。同时 AA叫做双曲线的实轴且AA=2a. B(0,-b)， B(0,b)。同时 BB叫做双曲线的虚轴且BB=2b.7 / 114、渐近线：、渐近线：焦点在 x 轴：y=(b/a)x.焦点在 y 轴：y=(a/b)x.5、离心率、离心率：第一定义： e=c/a 且 e（1，+).第二定义：双曲线上的一点 P 到定点 F 的距离PF 与 点 P到定直线(相应准线)的距离 d 的比等于双曲线的离心率 e.6、双曲线焦半径公式、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点 P(x,y)到焦点距离）右焦半径：r=ex
9、-a 左焦半径：r=ex+a7、等轴双曲线、等轴双曲线一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=2这时渐近线方程为：y=x（无论焦点在 x 轴还是 y 轴）8、共轭双曲线、共轭双曲线双曲线 S的实轴是双曲线 S 的虚轴 且 双曲线 S的虚轴是双曲线 S 的实轴时，称双曲线 S与双曲线 S 为共轭双曲线。几何表达：S：(x2/a2)-(y2/b2)=1 S：(y2/b2)-(x2/a2)=1特点：（1）共渐近线（2）焦距相等（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于 19、准线、准线： 焦点在 x 轴上：x=a2/c 焦点在 y 轴上：y=a2/c8 / 1110、通径长、通径长：（圆
10、锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）d=2b2/a11、过焦点的弦长公式：、过焦点的弦长公式：d=2pe/(1-e2cos2) 或 2p/sin2 p 为焦点到准线距离，为弦与 X 轴夹角三抛物线定义定义平面内,到一个定点 F 和不过 F 的一条定直线 l 距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线。另外 , F 称为“抛物线的焦点“, l 称为“抛物线的准线“。定义焦点到抛物线的准线的距离为“焦准距“,用 p 表示 p0.以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥，可得一个圆，如果倾斜这个平面直至与其一边平行，就可以做一条抛物线。标准方程标准方程抛物线9 / 11抛物线的标准方程有四个：右
11、开口抛物线:y2=2px左开口抛物线:y2=2px上开口抛物线:x2=2py下开口抛物线:x2=2pyp 为焦准距（p0）在抛物线 y2= 2px 中，焦点是 ( p/2，0） ，准线 l 的方程是 x= - p/2； 在抛物线 y2= - 2px 中，焦点是 (-p/2，0） ，准线 l 的方程是 x= p/2； 在抛物线 x2= 2py 中，焦点是 (0，p/2） ，准线 l 的方程是 y= - p/2； 在抛物线 x2= - 2py 中，焦点是 (0，-p/2） ，准线 l 的方程是 y= p/2；相关参数相关参数(对于向右开口的抛物线对于向右开口的抛物线) 离心率:e=1焦点:(p/2
12、,0)准线方程 l:x=-p/2顶点:(0,0)通径：2P ；定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦10 / 11定义域（定义域（X0） 值域（值域（YR)解析式求法解析式求法以焦点在 X 轴上为例知道 P（x0,y0)令所求为 y2=2px则有 y02=2px02p=y02/x0抛物线为 y2=(y02/x0)x相关结论相关结论过抛物线 y2=2px(p0)焦点 F 作倾斜角为 的直线 L,L 与抛物线相交于 A（x1,y1)，B(x2,y2),有 x1*x2 = p2/4 , y1*y2 = P2 焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/(sin)2 （1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P若 OA 垂直 OB 则 AB 过定点 M（2P，0）焦半径：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点 P 到焦点 F 距离等于到准线 L 距离）弦长公式：AB=（1+k2）*x2-x1=b2-4ac=b2-4ac0 有两个实数根=b2-4ac=0 有两个一样的实数根11 / 11=b2-4ac0 没实数根由抛物线焦点到其切线的垂线，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项。
