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1、 20132013 高三数学精品复习教案：第三章三角函数、解三角形高三数学精品复习教案：第三章三角函数、解三角形3 32 2 解三角形解三角形【高考目标定位高考目标定位】一、正弦定理和余弦定理一、正弦定理和余弦定理 1 1、考纲点击、考纲点击 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； 2 2、热点提示、热点提示 （1）利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题； （2）与三角形有关的问题在考查正弦定理、余弦定理和面积公式的同时，考查三角恒等变换，这是 高考的热点； （3）三种题型均有可能出现，属中低档题目。 二、应用举例二、应用举例 1 1、考纲点击、考纲点
2、击 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 2 2、热点提示、热点提示 （1）本节内容与实际生活紧密相连，是高考命题的热点，应高度重视； （2）主要考查正、余弦定理及分析问题、解决问题的能力； （3）三种题型均有可能出现，属中、低档题目。【考纲知识梳理考纲知识梳理】一、正弦定理和余弦定理一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2sinsinsinabcRABC2222222222cos,2cos,2cos.abcbcAbcaacBcababCg变形形式a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=,sinB
3、=,sinC=;2a R2b R2c Ra:b:c=sinA: sinB: sinC;sinsinsinsinabca ABCA222222222cos;2cos;2cos.2bcaAbc acbBca abcCab解决的问题 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。 已知三边，求各角； 已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。注：在 ABC 中，sinAsinB 是 AB 的充要条件。 （sinAsinBabAB）22ab RR二、应用举例二、应用举例 1 1、实际问题中的常用角、实际问题中的常用角 （1 1）仰角和俯角）仰角和俯角 在视线
4、和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图）（2 2）方位角）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 （如图） 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角 是相对于正北方向而言的。 （3 3）方向角：）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图）北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；oo北偏本即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；oo南偏本等其他方向角类似。 （4 4）坡度：）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图，角 为坡角） 坡比：坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图， 为坡比
5、）i 2 2、ABCABC 的面积公式的面积公式（1）；1()2aaSa h hag表示边上的高（2）；111sinsinsin()2224abcSabCacBbcARR为外接圆半径（3）。1()()2Sr abc r为内切圆半径【热点难点精析热点难点精析】一、正弦定理和余弦定理一、正弦定理和余弦定理 （一）正弦定理、余弦定理的简单应用（一）正弦定理、余弦定理的简单应用 相关链接相关链接 1、已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的 情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断； 2、应熟练掌握余弦定理及其推论。解三角形时，有时可用正弦定理，也可用
6、余弦定理，应注意用哪 一个定理更方便、简捷； 3、三角形中常见的结论 （1）A+B+C=； （2）在三角形中大边对大角，反之亦然； （3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； （4）三角形内的诱导公式sin()sin;cos()cos;tan()tan;sincos;cossin.2222ABCABCABCABCABC （5）在 ABC 中，tanA+tanB+tanC= tanAtanBtanC. 例题解析例题解析例例 11在 ABC 中， （1）若 b=,c=1,B=450o,求 a 及 C 的值；（2）若 A=600，a=7,b=5,求边 C。2思路解析：思路解析：（1）可直
7、接使用正弦定理求解，注意解的个数的判断，也可利用余弦定理求解；（2）题 目条件是已知两边及一边的对角，这种情况一般用正弦定理理解，但本题不求 B，并且求出 sinB 后发现 B 非特殊角，故用正弦定理不是最佳选择，而应直接用余弦定理列出关于 c 的方程求解。解答：解答：（1）方法一：由由正弦定理得，所以 sinC=.因为 ccb,A 为最大角。由余弦定理得：。又2222223571cos22 3 52bcaAbc 。30180 ,120 ,sinsin1202AAAoooo方法一：由正弦定理得，因此最大角 A 为，sinsinac AC35sin5 32sin714cACa 120o。sinC
8、 5 3 14方法二：。C 为三角形的内角，C 为锐角。sinC=22222273511cos22 7 314abcCab ,所以最大角为，sinC=。22115 31 cos1 ()1414C120o5 3 14（二）三角形形状的判定（二）三角形形状的判定 相关链接相关链接 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法： （1）利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从 而判断三角形的形状； （2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出 内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 A
9、+B+C= 这个结论。 注：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解。 例题解析例题解析 例例在 ABC 中，a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边，如果，判断三角形的形状2222()sin()()sin()abABabAB思路解析：思路解析：分别以 a2和 b2为同类项整理已知条件展开和转化为边或角关sin()ABsin()AB系求解得三角形形状。 解答：解答：方法一：222222sin()sin() sin()sin(),2cossin2cos sin .sincossinsincossin,sinsin(sincossincos)0sin2
10、sin2 ,0,2222aABABbABABaABbbAAABBBAABAABBABABABABABC由已知得由正弦定理，得由得或，即是等腰三角形或直角三角形。方法二：同方法一可得，由正、余弦定理，即得222cossin2cos sinaABbbA222222 222222222222222222,()(),22 ()()0bcaacba bb aa bcabacbbcac abcababcabABC即或，故为等腰三角形或直角三角形。（三）正、余弦定理在几何中的应用（三）正、余弦定理在几何中的应用 相关链接相关链接 正、余弦定理在几何中的应用（1）首先根据已知量和未知量确定未知量所在的三角形；
11、 （2）其次确定与未知量相关联的量； （3）最后把要求解的问题转化到由已知条件可直接求解的量上来。 例题解析例题解析例例 11如图所示，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=5，AC=9，BCA=300，ADB=450，求 BD 的长。 思路解析：思路解析：由于 AB=5， ，ADB=450，因此要求 BD，可在 ABD 中，由正弦定理求解，关键是确定 BAD 的正弦值。在 ABC 中，AB=5，AC=9，ACB=300，因此可用正弦定理求出 sinABC,再依据ABC 与BAD 互补确定 sinBAD 即可。 解答：解答：在 ABC 中，AB=5，AC=9，BCA=300，由正弦定理，得0s
12、in9sin309,sinsinsin510 9/ /,180,sinsin1099 2,45 ,1029 2BD2oABACACBCAABCBCAABCABADBCBADABCBADABCABDBADADBBDogQV于是。同理，在中, AB=5, si n解得故的长为例例 22如图，在四边形 ABCD 中，已知ADCD，AD=10，AB=14，BDA=600，BCD=1350，求 BD 及 BC 的长。解答：解答：在 BAD 中，由余弦定理，得，222BABDAD2BD ADcosBDAg22202120 0BD,14102 10cos60 ,10960,16,16()BD16.BDCBC
13、BD16,BCsin308 2,BD16,8 2sinsinsin135xxxxxxxBCCDBBCD gVg设则所以所以舍去，所以在中，由正弦定理，得所以所以注：注：（1）正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使 用； （2）条件中如果出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理； （3）在三角形中求角，往往选择先求该角的余弦值，然后利用余弦函数在（0，）上的单调性求角；（4）正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一定要重视。 二、应用举例二、应用举例 （一）与距离有关的问题（一）与距离有关的问题 相关链接相关链接 1、一般步骤： （1）分析
14、：理解题意，分清已知与未知，画出示意图； （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解 斜三角形的数学模型； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。 2、解斜三角形应用题常有以下几种情形： （1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理 解之； （2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺序逐步在 几个三角形中求出问题的解； （3）实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个
15、，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正 弦定理或余弦定理。 例题解析例题解析 例例 11某观测站 C 在 A 城的南偏西 200的方向。由 A 城出发的一条公路，走向是南偏东 400，在 C 处 测得公路上 B 处有一人距 C 为 31 千米正沿公路向 A 城走去，走了 20 千米后到达 D 处，此时 CD 间的距离 为 21 千米，问这人还要走多少千米才能到达 A 城？思路解析：思路解析：本题为解斜三角形的应用问题，人要走多少路可到达 A 城，即求 AD 的长，在 ADC 中， 已知 CD=21 千米，CAD=600，只需再求出一个量即可。 解答：解答：设ACD=，CDB=。在 BCD 中，由余弦定理得2222222021314 3cos,22 20 2177BDCDCB BD CD g则si n000004 31315 3sinsin(60 )sincos60cossin60,7227145 32121AD21sin14ACDAD15sin60sinsin603 2 A
