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1、1.如果，求 的4230 x2416 yxy 的取值范围为2xy取值范围为 。2.ab0，m0，n0，则，的由大到小的顺序是_.ab ba mamb nbna 3.不等式 ax2+（ab+1）x+b0 的解集为x|1x2，则 a+b=_.4.不等式|x3|x1|m 对恒成立，则 m 的取值范围是 xR5.如果对任意实数 x，不等式|x+1|kx 恒成立，则实数k的范围是_.6.对于 04 的，不等式恒成立，则的取值范围是mm243xmxxmx_.7已知是定义在的等调递增函数，且，则 xf, 0 ,yfxfxyf 12 f不等式的解集为 。 23 xfxf8.解不等式（1） （2）01522xx
2、2|43|2xxx（3） （4）0)4)(2()3)(1(2 xxxx293xx6.已知1a+b3 且 2ab4，求 2a+3b 的取值范围.二：基本不等式二：基本不等式【知识要点知识要点】1.推导并掌握均值不等式 2.你会运用均值不等式求最值吗，当且仅当，当且仅当 时等号成立时等号成立.2220,01122ababababab 若，则ab介绍着四个分别叫做调和平均值，几何平均值，算术平均值，平方平均值介绍着四个分别叫做调和平均值，几何平均值，算术平均值，平方平均值 【典型例题典型例题】例 1.均值不等式的基本运用 1.下列结论正确的是（ ）A当B101,lg2lgxxxx且时10,2xxx当
3、时C的最小值为 2D当无最大值xxx1,2 时当xxx1,20时2.下列函数中，最小值为 2的是（ ）2ABxxy2)0(sin2sinxxxyCDxxeey22log2log2xxy3.设，则下列不等式成立的是（ ）0 baABbaab 2abba2abba 2baab 2CD 2ba baab 2abbaab 2 2baab例 2. 利用均值不等式求值域（最值）（1）求函数的值域。)0(21xxxy（2）求函数的最小值。)3(231xxxy（3）求函数的最小值。212224xxxy（4）求函数 y = 的值域x 23x5 x1例 3.（1）已知且，则的最小值是 Ryx,1 yxyx14（2
4、）若正数满足，则的取值范围是 , a b3ababab（3）已知a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值 （4）已知x，y为正实数，且x 21，求x的最大值.为 y 2 21y 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 ab。a 2b 22同时还应化简中 y2前面的系数为 ， xx x1y 2121y 22下面将 x，分别看成两个因式：x 即 xx 3 41y 223 42（5）已知x，y为正实数，3x2y10，求函数 W的取值范围为 .3x2y解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，本题很简单ab2a 2b 22 2 3x2y22 3x2y5解法二：条件与结论均为和的形式，
5、设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积 的形式，再向“和为定值”条件靠拢。 W0，W23x2y210210()2()2 10(3x2y)203x2y3x2y3x2y W2 205（6）若，且恒成立，则的最小值为 0, 0yxyxayxa， 22 222,()222xyxyxyxyQ即，而，而，2()2xyxyyxayx即即恒成立，得恒成立，得1()xyxya12,22aa即例 4.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。例 5 .不等式的证明（1）求证：222abcabacbc（2）求证)(2222222cbaaccbba例 6.设，求证：001,abab（1） ； （2）；1118a
6、bab221125 2()()abab（3） （4）()()9 12a12 b22121 a121 b（5） )1)(1(bbaa425例 7.不等式的证明（1）已知，求证：, ,0a b c 6bcacab abc（2）已知，求证：, ,0a b c 3 2abc bcacab 左边=(a+b+c)/(a+b)+(a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(c+a)-3 =0.5*(a+b+b+c+c+a)*1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)-3 0.5*3*(a+b)(b+c)(c+a)1/3*3*1/(a+b)*1/(b+c)*1/(c+a)1/3-3 =0.5*3*3-3=
7、3/2 证毕 或利用柯西不等式 c/(a+b)+a/(b+c)+b/(a+c)*c(a+b)+a(b+c)+b(a+c)=(a+b+c)2 而c(a+b)+a(b+c)+b(a+c)=2(ab+bc+ac)=0 所以 c/(a+b)+a/(b+c)+b/(a+c)=(a+b+c)2/2/3*(a+b+c)2=3/2 【经典练习经典练习】1.若实数 a、b 满足 （ ）的最小值是则baba22, 2A8B4CD224222.函数的最小值是（ ） xxy2sin9 2cos4A.24 B.13 C.25 D.263.设 x0，y0，且 xy（x+y）=1，则（ ）A.x+y2+2 B.x+y2+2
8、22C.x+y（+1）2D.x+y（+1）224若且，则的最小值为（ ）0,cba124222bcacabacbaA.B.3C.2D.3235.函数的值域为 2 21 1yxx 6.求下列函数的值域（1） （2） 3(2)24yxxx21 35xyxx7.已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数 y的最小值.1ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函一是通过消元，转化为一元函 数问题数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用二是直接用 基本基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位
9、 求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a， abb 302bb1302bb12 b 230bb1由 a0 得，0b15令 tb+1，1t16，ab2（t）2t 234t31t16t34t2816t ab18 y 当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。1 18 法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab22 ab2 ab令 u 则u22u300， 5u3 ab2223，ab18，yab21 18点评：本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；abba 2）（Rba,如何由已知不等式出发求得的范围，关键是寻找到230abab）（Rba,ab之间的关
10、系，由此想到不等式，这样将已知条件转abba与abba 2）（Rba,换为含的不等式，进而解得的范围.abab8.正数 a，b，c 满足 abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc9.若求证：, ,a b cR444222222abca bb cc a)(cbaabc三：不等式证明三：不等式证明【知识要点知识要点】1.比较法，分析法，综合法，反证法，放缩法 【典型例题典型例题】例 1、若实数，求证：1x.)1 ()1 (32242xxxx证明：采用差值比较法：2242)1 ()1 (3xxxx=3242422221333xxxxxxx=) 1(234xxx=) 1() 1(222xxx=
11、.43)21() 1(222xx, 043)21(, 0) 1(, 122xxx且从而Q, 043)21() 1(222xx.)1 ()1 (32242xxxx例 2、设求证；对任意实数，恒有. 1, 0, 12)(2qppqxxfba,).()()(qbpafbqfapf证明 考虑（1）式两边的差。).()()(qbpafbqfapf 1)(2) 12() 12(222qbpabqap （2）. 14)1 (2)1 (222qppqabbqqapp, 0, 1pqqpQpqabpqbpqa422)2(22. 0)(22bapq即（1）成立。例 3、已知 a，b，m 都是正数，并且求证： .
12、ba .ba mbma证法一 要证（1） ，只需证 （2）)()(mbamab要证（2） ，只需证 （3）ambm 要证（3） ，只需证 （4）ab 已知（4）成立，所以（1）成立。 上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。证法二 因为 是正数，所以 mab,ambm 两边同时加上得ab)()(mbamab两边同时除以正数得（1） 。)(mbb例 4、证明： .)()(22222bdacdcba（1） （2）0)()(22222bdacdcba0)2(222222222222dbabcdcadbdacbca（3）（4）022222abcddacb（5）0)(2 adbc（5）显然成立。
13、因此（1）成立。例 5、设二次函数，求证：中至少有一个不小于qpxxxf2)()3(, )2(, ) 1 (fff.21证明：假设都小于，则)3(, )2(, ) 1 (fff21（1）. 2)3()2(2) 1 (fff另一方面，由绝对值不等式的性质，有（2）2)39()24(2)1 ()3()2(2) 1 ()3()2(2) 1 (qpqpqpffffff（1） 、 （2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。 注意注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通 常采用反证法进行例 6、设 0 , (1 b)c , (1 c)a ,41 41 41则三式相乘：ab (1 a)b(1 b)c(1 c)a 641又0 a,
