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1、第第 2525 章章 解直角三角形解直角三角形一、地位与作用一、地位与作用 本章内容是数学课程标准中“空间与图形”领域的重要内容。锐角三角 函数”属于三角学，是数学课程标准中“空间与图形”领域的重要内容。 从数学课程标准看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在 义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究 锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教材安排了一章的内容，就是本章 “解直角三角形”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三 角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从 思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基
2、础，掌握锐角三角函数 的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。 本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及 利用锐角三角函数解直角三角形等内容。锐角三角函数为解直角三角形提供了 有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数 提供了与实际联系的机会。研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些 结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角 形和勾股定理等是学习本章的直接基础。本章内容与已学 “相似三角形”“勾 股定理”等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。 二、教材说明二、教材说
3、明 本章的主要内容包括直角三角形的边角关系锐角三角函数的概念和性 质，利用各种条件解直角三角形，再灵活运用解直角三角形解决实际问题。具 体编排包括三节：测量；锐角三角函数；解直角三角形。其中第一节主要学习 测量，本节既是第 24 章相关内容的发展，同时又为后面两节内容创设了情境， 起承上启下的作用；第二节研究三角函数的概念性质，特殊角的三角函数值外， 还利用计算器由已知锐角求它的三角函数值和由已知三角函数值求它对应的锐 角。为下节运用锐角三角函数解直角三角形做好准备。第三节是解直角三角形， 主要综合运用直角三角形的勾股定理和边角关系解决简单的实际问题。 本章的编写主要有如下特点： 1、在呈现方
4、式上突出实践性与研究性，体现了学数学、用数学的意识与过 程。本章主要包括锐角三角函数和解直角三角形两大块内容，这两大块内容是 紧密联系的。锐角三角函数是解直角三角形的基础，解直角三角形的理论又为 解决一些实际问题提供了强硬有力的工具，解直角三角形为锐角三角函数提供 了与实际紧密联系的沃土。因此本章编写时，加强了锐角三角函数与解直角三 角形两大块内容与实际的联系。如三角函数的概念是通过测量旗杆的高度这一 学生实际生活中触手可及的问题引出并加以探索研究的，教材安排了背景丰富 有趣的四个实际问题作为例题，从不同的角度展示了解直角三角形在实际中的 广泛应用。教材这样将锐角三角函数和解直角三角形的内容与
5、实际问题紧密联 系，形成“你中有我，我中有你”的格局，一方面可以让学生体会锐角三角函 数和解直角三角形的理论来源于实际，是实际的需要，另一方面也让学生看到 它们在解决实际问题中所起的作用，感受由实际问题抽象出数学问题，通过解 决数学问题得到数学问题的答案，再将数学问题的答案回到实际问题的这种实 践-理论-实践的认识过程，这个认识过程符合人的认知规律，有利于调 动学生学习数学的积极性，丰富有趣的实际问题也能够激发学生的学习兴趣。2、加大学生的思维空间，发展学生的思维能力 本章编写时一方面继续保持原有的通过设置“观察”“思考”“讨论”“探究” “归纳”等栏目来扩大学生探索交流的空间，发展学生的思维
6、能力，同时结合 本章内容的特点，又考虑到学生的年龄特征（学习本章内容的学生已经是九年 级），对于本章的一些结论，教材采用了先设置一些探究性活动栏目，然后直 接给出结论的做法，而将数学结论的探索过程完全留给学生，不像前两个年级 那样，将这些探究过程通过填空或留白等方式展示探索过程来引导学生进行探 究。例如，教材在详细研究了正弦函数，给出正弦函数的概念之后，设置了一 个“探究”栏目，并提出问题“在直角三角形中，当一个锐角确定时，它的对 边与斜边的比就随之确定，那么，此时其他边之间的比是否也确定了呢？为什 么？”，接下去，教材直接给出了余弦函数和正切函数的概念，而将“邻边与 斜边的比、对边与邻边的比
7、也分别是确定的”这个结论的探究过程完全留给学 生自己完成。再如，对于 30、45、60这几个特殊角的三角函数值，教材 也是首先设置一个“思考”栏目，在栏目中提出问题“两块三角尺中有几个不 同的锐角，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值”，然后教材用一 个表格直接给出了这几个特殊角的三角函数值，而将这些角的三角函数值的求 解过程留给学生完成。这样的一种编写方式就为学生提供了更加广阔的探索空 间，开阔思路，发展学生的思维能力，有效改变学生的学习方式 3、注重新旧知识的联系，这不仅有利于学生建立新的知识体系，同时也能 培养学生的综合运用知识的能力。三角函数概念的提出是在利用相似三角形测 量计算
8、旗杆高度的情境下呈现的，解直角三角形用到直角三角形的各角、边的 关系，新知与旧知的综合运用让知识内容更加丰富多彩，同时也使新知与旧知 的融合为一体，让知识结构更为牢固完善。 4、重视计算器的使用，以前的非特殊角的三角函数值通常用数学用表来查， 但新课程标准中明确提出：“会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由 已知三角函数值求它对应的锐角。这为本章添加了现代信息技术应用的元素， 也是本章的亮点之一。 三、本章知识结构框图三、本章知识结构框图应用直角三角形两个锐角互余30角所对的直角边等于斜边的一半斜边上的中线等于斜边的一半勾股定理边角关系： 锐角三角函数解直角三角形四、学习目标四、学习目标
9、1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用 sinA 、cos A、tanA 表示直角 三角形中两边的比；记忆、的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊 角的三角函数值说出这个角； 2. 能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数 值求出相应的锐角； 3. 理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾 股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会 用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题； 4. 通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想， 通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结
10、合实际问题 对微积分的思想有所感受。 五、重点、难点和关键五、重点、难点和关键 本章重点是锐角三角函数的概念和解直角三角形。 锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。难点在于，锐角 三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对 应关系，以及用含有几个字母的符号 sinA、cosA、tanA 表示函数等，学生过去 没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。至于关键，因为只有正确掌握了 锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才 能利用这些关系解直角三角形。 六、课时安排建议六、课时安排建议 本章教学时间约需 13 课时，建议分配如下（
11、仅供参考）： 251 测量 约 1 课时 252 锐角三角函数 约 3 课时 253 解直角三角形 约 5 课时 复习 约 2 课时 课题学习 约 2 课时 七、教学建议七、教学建议 1、注意加强知识间的纵向联系 第 27 章“相似”为本章研究锐角三角函数打下基础，因为利用“相似三角形的 对应边成比例”可以解释锐角三角函数定义的合理性。例如，教科书在研究正 弦函数的概念时，利用了“在直角三角形中，所对的边等于斜边的一半”，得 出了“在一个直角三角形中，如果一个锐角等于，那么不管三角形的大小如何， 这个角的对边与斜边的比值都等于”。事实上，在直角三角形中，如果一个角 等于 ，那么这样的直角三角形
12、都相似，因此，不管这样的三角形的大小如何， 它们的对应边成比例，这也就是说，对于，虽然教科书是从两个特殊的直角三 角形（的对边分别是 70 和 50）归纳得到的，但这个结论是可以从三角形相似 的角度来解释的。同样，对于有类似的情况。当然，教科书利用相似三角形的 有关结论解释了在一般情形中正弦定义的合理性。因此，锐角三角函数的内容 与相似三角形是密切联系的，教学中要注意加强两者之间的联系。 本章所研究的锐角三角函数反映了锐角与数值之间的函数关系，这虽然与 一次函数、反比例函数以及二次函数所反映的数值与数值之间的对应关系有所 不同，但它们都反映了变量之间的对应关系，本质上是一致的，因此教学时， 要
13、注意让学生体会这些不同函数之间的共同特征，更好地理解函数的概念。2、揭示数学内容的本质，引导学生加深理解 本章的一个教学目标是使学生理解锐角三角函数的概念，这个概念与学生 以前所学的一次函数、反比例函数和二次函数有所不同，它反映的不是数值与 数值的对应关系，而是角度与数值之间的对应关系，学生初次接触这种对应关 系，理解起来有一定的困难，而这种对应关系对学生深刻地理解函数的概念又 有很大帮助，因此，教科书针对这种情况，加强了对锐角三角函数所反映的角 度与数值之间的对应关系的刻画。例如，对于正弦函数，教科书首先研究了在 直角三角形中，和的锐角所对的边与斜边的比分别是常数和，然后就一般情况 进行研究
14、，并得出结论：当一个锐角的度数一定时，这个角的对边与斜边的比 也是一个常数，这样就突出了锐角与比值的对应关系，即对于每一个锐角，都 有一个比值与之对应，从而给出正弦函数的定义。同样，教科书在阐述余弦函 数和正切函数时也突出了锐角与“邻边与斜边的比值”之间的对应关系以及锐 角与“对边和邻边的比值”之间的对应关系，并在边注进一步强调了这种函数 关系：对于锐角 A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以 sinA 是 A 的函数。同样地，cosA，tanA 也是 A 的函数。这样，就可以让学生对 变量的性质以及变量之间的对应关系有更深刻的认识，加深对函数概念的理解。 因此，教学中注
15、意体会教材的编写意图，培养学生的数学能力。 3、注意数形结合，自然体现数与形之间的联系 数形结合是重要的数学思想和数学方法，本章内容又是数形结合的很理想的材 料。例如，对于锐角三角函数的概念，教材是利用学生对直角三角形的认识 （在直角三角形中，所对的边等于斜边的一半，的直角三角形是等腰直角三角 形）以及相似三角形的有关知识引入的，结合几何图形来定义锐角三角函数的 概念，将数形结合起来，有利于学生理解锐角三角函数的本质。再比如，解直 角三角形在实际中有着广泛的作用，在将这些实际问题抽象成数学问题，并利 用锐角三角函数解直角三角形时，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画 出几何图形，通过分析几何
16、图形得到边、角等的关系，再通过计算、推理等使 实际问题得到解决。因此在本章教学时，要注意加强数形结合，在引入概念、 推理论述、化简计算、解决实际问题时，都要尽量画图帮助分析，通过图形帮 助找到直角三角形的边、角之间的关系，加深对直角三角形本质的理解。 4、注意培养学生的自主探索精神，提高合作交流能力和解决实际问题的能 力。 25.125.1 测量测量教学目标教学目标 知识与技能目标知识与技能目标 利用已学知识尤其是相似三角形的相关知识解决生活中某些测量问题。 过程与方法目标过程与方法目标 通过利用相似三角形求旗杆高度的测量与计算，培养观察能力、分析问题、解 决问题的能力。 情感与态度目标情感与态度目标 1在学习知识的过程中，获得成功的体验，树立学习数学的自信心；2使学生了解测量是现实生活中必不可少的，能利用图形的相似测量物体的高度，培养学生动手知识解
