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1、第七章第七章 不等式不等式知识网络知识网络.第第 1 讲讲 不等关系与不等式不等关系与不等式 知知 识识 梳理梳理 1.比较原理： 两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：ab;a0，y0，且 3x+4y=12，求 lgx+lgy 的最大值及此时 x、y 的值 【解题思路】这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现. 应将 lgx+lgy 转化成 lgxy 考虑解析x0，y0，3x+4y=12， ，yxxy431213243 1212 yxlgx+lgy=lgxylg3 由 解得 yxyxyx4312430, 0232yx当 x=2，y=时，lgx+lgy 取得最大值 lg3
2、23【名师指引】利用基本不等式求最值是高考中最常考的方法之一考点 2 利用基本不等式证明 题型：用综合法证明简单的不等式例 1.已知, ,a b cR,求证:222abcabbcca. 【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体.解析 Q2222222,2,2abab bcbc acac,相加整理得222abcabbcca.当且仅当abc时等号成立. 【名师指引】综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一 结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形.例 2. 已知 a，b 为正数，求证：abbaba 【解题思路】观察结构用基本不等式加以证明.解析 1： a0，
3、b0， ，bbaabba22，aabbaab22两式相加，得，aabbbaba22 abbaba 解析 2. abbbaababaabba )(abba22)(ba abbaba 【名师指引】当要证明的不等式形式上比较复杂时，常通过分析法寻求证题思路“分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法，特别是这两种方法的综合运用能力，对解决实际问题有重要的作用 这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法6.已知函数，若在（0，+）上恒成立，求的取值范围。12( )f xax 02 xxf)(a解析：因为在（0，+）上恒成立，即02 xxf)(0221xxa 的最小值为 4 )(xxa121)(xx
4、1241a解得410aa或 抢抢 分分 频频 道道 基础巩固训练基础巩固训练1.1. 设 x0，则函数在 x=_时，y 有最小值_y = (x + f(1,x) - 1解：答案为： _1_；3y = (x + f(1,x) - 1 3 =x2 +1 x2+ 1 2 + 1 = 32.2. 设实数 x,y 满足，则 x+y 的取值范围是_x + 2xy - 1 = 0x + 2xy - 1 = 0解析：答案为(-,-11, +)_x + 2xy + y = y + 1 1即(,x + y) 1所以x + y 1 或x + y - 13.3. （广东省梅州、揭阳两市四校 2008 届高三第三次联考
5、）设 x，y 均为正实数，且，则 xy 的最小值为 31 21 21yx解析：由可化为 xy =8+x+y,x，y 均为正实数31 21 21yxQxy =8+x+y（当且仅当 x=y 等号成立）即 xy-2-8xy28xy0可解得,即 xy16 故 xy 的最小值为 16。xy4 热热 点点 考考 点点 题题 型型 探探 析析 考点 1:比较法两个数的大小例 2. 比较与（其中，）的大小am bm a b0ba0m 【解题思路】作差整理,定符号解析：，()()() ()()amab ama bmm ba bmbb bmb bm，所以0ba0m ()0()m ba b bmama bmb【名师
6、指引】作差比较法的步骤是： 1、作差；2、变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等； 3、判断符号；4、作出结论考点 2 不等式的性质题型：验证或推导简单不等式的有关结论 例 1. 已知：mn，ab，求证：manb. 【解题思路】以不等式的性质为基础，进行推导 证法一：由mn知mn0，由ab知ba0. （ma）（nb）（mn）（ba）0manb； 证法二：ab ab 又mn m（a）n（b） manb. 【名师指引】不等式的性质中,有“单向性”和“双向性”的区别,切记随心所欲、自创性质例 2.已知下列三个不等式0ab ;cd ab;bcad,以其中两个作为条件,余下一个作结论,则可组成
7、几个正确命题. 【解题思路】以比较法为基础进行变形解析(1)对变形0cdbcad abab,由0,abbcad得成立,.(2)若0,0bcadabab,则bcad,.(3)若,0bcadacbdab,则0ab ,. 综上所述可组成 3 个正确命题. 【名师指引】注意运用性质时须满足的条件,如ab时,判断ac与bc的大小关系应注 意从0,0,0ccc三个方面讨论.考点 3 不等式性质综合应用 题型 1.用比较法证函数的单调性例 1. （广东省揭阳二中 2009 届高三上学期期中考试）已知函数的定义域为对定义域内的任意、，都有( )f x,0x xRx且1x2x1212()()(),1( )0,(
8、2)1.f xxf xf xxf xf且当时（1）求证：是偶函数；( )f x（2）求证：在上是增函数；( )f x(0,)（3）解不等式2(21)2.fx 【解题思路】证明抽象函数的单调性通常是用单调性的定义结合比较法.解析；（1）证明 因对定义域内的任意、都有1x2x，则有121212()()(),1f xxf xf xxx x 令2 分()( )( 1)fxf xf又令 121,2 ( 1)(1)xxff 得再令 121,(1)0,( 1)0,xxff得从而于是有 ()( ),( )fxf xf x所以是偶函数（2）设 2 121211 10()()()( .)xxxf xf xf xf
9、 xx，则22 11 11( )( )()(),xxf xf xffxx 由于从而， 2 12 10,1,xxxx所以21()0xfx故上是增函数 （3）由1212()()0()(),( )(0,)f xf xf xf xf x，即所以在于 (2)1,21 1(2)(2)(4),ffff 所以于是待解不等式可化为， 结合（1） （2）已证结论，可得上式等2(21)(4)fxf价于 2214x 解得 1010,022xxx且【名师指引】 作差法、作商法以及函数的单调性是比较大小的常用方法.运用不等式 性质时应从结论出发, 寻找解题的切入点. 抢抢 分分 频频 道道 基础巩固训练基础巩固训练1.1
10、. 如果, ,a b c满足cba,且0ac ,那么下列选项中不一定成立的是( ) A.abac B.()0c ba C.22cbab D. ()0ac ac解析:由题意知0,0ca,则A一定正确,B 一定正确,D 一定正确,故选 C(当 b=0 时)2.(2008吴川一中)对于实数， “”是“”成立的( )ab、()0b ba1a bA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件解析：由;反之不成立.选 C10()0aabb babb3. 若110ab,则下列不等式:abab ;| | | |ab;ab;2baab中,正确的不等式有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个解析:由110ab 得0ba,0ab ,则正确,错误,故选 B.4.若22,则的取值范围是 解析:由,2222 ,可得(,0)5. 设求证, 0, 0ba.)()(21 21 212 212 baab ba证法一:左边-右边=)()()(33 baabba= =abbaabbababa)()(= = = = 原不等式成立。原不等式成立。abbababa)2)(0)(2 abbaba证法二证法二: :左边0，右边0。原不等式成立。原不等式成立。右边左边12)()()(ababababbababaabbababa
