《东风中学考前热点加强：正弦定理、余弦定理应用举例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《东风中学考前热点加强：正弦定理、余弦定理应用举例（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、东风中学考前热点加强：正弦定理、余弦定理应用举例东风中学考前热点加强：正弦定理、余弦定理应用举例【2014 年高考会这样考】考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题基础梳理1用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等2实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1)(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 (如图(2)(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30，北偏西 45，西偏东 60
2、等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解双基自测1(人教 A 版教材习题改编)如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出 A，B 两点的距离为(
3、 )A50 m B50 m C25 m D. m23225 22解析 由正弦定理得，又B30ABsinACBACsin BAB50(m)ACsinACBsin B50 22122答案 A2从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ， 的关系为( )A BC90 D180解析 根据仰角与俯角的定义易知 .答案 B3若点 A 在点 C 的北偏东 30，点 B 在点 C 的南偏东 60，且 ACBC，则点A 在点 B 的( )A北偏东 15 B北偏西 15C北偏东 10 D北偏西 10解析 如图答案 B4一船向正北航行，看见正西方向相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直
4、线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60，另一灯塔在船的南偏西 75，则这艘船的速度是每小时( )A5 海里 B5海里3C10 海里 D10海里3解析 如图所示，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而 CDCA10(海里)，在 RtABC 中，得 AB5(海里)，于是这艘船的速度是10(海里/时)50.5答案 C5海上有 A，B，C 三个小岛，测得 A，B 两岛相距 10 海里，BAC60，ABC75，则 B，C 间的距离是_海里解析 由正弦定理，知.解得 BC5(海里)BCsin 60ABsin(1806075)6答案 56考向一 测量距离问题【例 1】如图所
5、示，为了测量河对岸 A，B 两点间的距离，在这岸定一基线 CD，现已测出 CDa和ACD60，BCD30，BDC105，ADC60，试求 AB 的长审题视点 在BCD 中，求出 BC，在ABC 中，求出 AB.解 在ACD 中，已知 CDa，ACD60，ADC60，所以ACa.BCD30，BDC105CBD45在BCD 中，由正弦定理可得 BCa.asin 105sin 45312在ABC 中，已经求得 AC 和 BC，又因为ACB30，所以利用余弦定理可以求得 A，B 两点之间的距离为 ABa.AC2BC22ACBCcos 3022(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建
6、立一个解三角形的模型(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解【训练 1】 如图，A，B，C，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为75，30，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60，AC0.1 km.试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距离解 在ACD 中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1 km.又BCD180606060，故 CB 是CAD 底边 AD的中垂线，所以 BDBA.又ABC15在ABC 中，ABsinBCAAC
7、sinABC所以 AB(km)，ACsin 60sin 153 2 620同理，BD(km)3 2 620故 B、D 的距离为 km.3 2 620考向二 测量高度问题【例 2】如图，山脚下有一小塔 AB，在塔底 B 测得山顶 C 的仰角为 60，在山顶 C 测得塔顶 A 的俯角为 45，已知塔高 AB20 m，求山高 CD.审题视点 过点 C 作 CEDB，延长 BA 交 CE 于点 E，在AEC 中建立关系解 如图，设 CDx m，则 AEx20 m，tan 60，CDBDBDx (m)CDtan 60x333在AEC 中，x20x，33解得 x10(3) m故山高 CD 为 10(3)
8、m.33(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理【训练 2】 如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，现测得BCD，BDC，CDs，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ，求塔高 AB.解 在BCD 中，CBD，由正弦定理得，BCsinBDCCDsinCBD所以 BCCDsinBDCsinCBDssin sin()在 RtABC 中，ABBCtanACB.stan sin sin()考向三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例 3】如图所示，在梯形 ABCD 中
9、，ADBC，AB5，AC9，BCA30，ADB45，求 BD 的长审题视点 由于 AB5，ADB45，因此要求 BD，可在ABD 中，由正弦定理求解，关键是确定BAD 的正弦值在ABC 中，AB5，AC9，ACB30，因此可用正弦定理求出 sinABC，再依据ABC 与BAD 互补确定sinBAD 即可解 在ABC 中，AB5，AC9，BCA30.由正弦定理，得，ABsinACBACsinABCsinABC.ACsinBCAAB9sin 305910ADBC，BAD180ABC，于是 sinBADsinABC.910同理，在ABD 中，AB5，sinBAD，910ADB45，由正弦定理：，AB
10、sinBDABDsinBAD解得 BD.故 BD 的长为.9 229 22要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理【训练 3】 如图，在ABC 中，已知B45，D 是 BC 边上的一点，AD10，AC14，DC6，求 AB 的长解 在ADC 中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得 cosADCAD2DC2AC22ADDC ，ADC120，ADB60.100361962 10 612在ABD 中，AD10，B45，ADB60，由正弦定理得，ABsinADBADsin BAB5.ADsinADBsin B10sin 60sin 4510
11、 32226规范解答如何运用解三角形知识解决实际问【问题研究】 1解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题建模准确地画出图形求解检验作答.,2三角形应用题常见的类型：,实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；,实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；,实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.,【解决方案】 航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时
12、间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中.【示例】(本题满分 12 分)如图，甲船以每小时 30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线2航行当甲船位于 A1处时，乙船位于甲船的北偏西 105方向的 B1处，此时两船相距 20 海里，当甲船航行 20 分钟到达 A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的 B2处，此时两船相距 10海里问：乙船每小时航行多少海里？2(1)分清已知条件和未知条件(待求)(2)将问题集中到一个三角形中(3)利用正、余弦定理求解解答示范 如图，连接 A1B2由已知 A2B210，2A1A23010，A1A2A
13、2B2.220602又A1A2B218012060，A1A2B2是等边三角形，A1B2A1A210.由已知，A1B120，2B1A1B21056045，(8 分)在A1B2B1中，由余弦定理得B1B A1B A1B 2A1B1A1B2cos 452 22 12 2202(10)222010200，2222B1B210.2因此，乙船的速度为6030(海里/时)(12 分)10 2202利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解【试一试】 如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向即沿直线 CB前往 B 处救援，求 cos .尝试解答 如图所示，在ABC 中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，所以 BC20.7由正弦定理，得 sinACBsinBAC.ABBC217由BAC120，知ACB 为锐角，故 cosACB.2 77故 cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30 .2 7732217122114
