《不等式证明(陈老师)_》由会员分享，可在线阅读，更多相关《不等式证明(陈老师)_（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、不等式证明 一、不等式证明的方法与技巧不等式证明的基础是对于任意实数,.常用方法有:比较法(作差比较、a0a作商比较) 、分析法、综合法、放缩法、反证法、换元法、数学归纳法等等,证明方法因题而 异,一题可以多种方法,能够显示选手的思维能力.例 1 设,是正实数,求证:abc.)()(b(bc cbabacaca分析与解 设,中最大,若,则不等式显然成立.abcaacb若,则可以应用二元均值不等式ac b)(bcacbaabcacba)()(21同理 ,bacbcab)(.cbacabc)(以上三式相乘,即证.例 2 已知,且Rdcba,.求证:4dcba.42222bcddacdabbca证明
2、 bcddacdabbca2222)()(bdaccdbdacab)(bdaccdab2)2(bdaccdab 4)(2cbda4)2(41dcba.4例 3 设，为正实数，且，证明:abc1cba. cabcabbbcaaabcccab 1221 221 221222证明 因及,1cbaabba222所以 2)(cabcababccabbcaaccbba222222222222)(2)(22222cbaabcbacba.abcbaabc22222因此 ,22)(221 cabcabab ccab同理 ,22)(221 cabcabbc aabc,22)(221 cabcabca bbca以上
3、三式相加即证.例 4 若,且,求证: 0, 0, 0zyx1xyz.211 11 111zyx证明 任取,令,由 得 0abycaxb,1xyz,cazbcyabx从而有 zyx11 11 11cac cbb baa cbac cbab cbaa ,1又 caccbbbaa,2acbcb cbaba cbaca所以 .211 11 111zyx例 5 设是正实数,并且,证明:cba,1abc.1555555caacca bccbbc abbaab分析与解 注意条件不等式的证明,充分利用 abc=1,观察不等式左边各式特征,找到一个放缩式,由)(2255bababa0)(3322baba有 ,)
4、(2255bababa所以 cbabacba abbaab22552255cbababacba222222)(.cbac 以下略.例 6 设是三角形三边,求证:cba,)()()(222222bacacbcba.abccba2333证法一 作差变形,因式分解,注意到,0cba0acb.0bca证法二 欲证不等式等价于acbca bccab 2222222212222 abcba.1coscoscosCBA这里分别为题设三角形三边 所对应的内角,应用三角变换,则CBA,cba,可证. 证法三 由,BcCbacoscos,AcCabcoscos于是,)cos(coscos)(BAcCbaba即有
5、,baBAcC)cos(coscos1,baBA cC coscoscos1,1cos1coscos cba CBA也即 ,1coscoscosCBA化归为解法二的最后不等式. CBAcoscoscosQ)cos(coscosBABA12cos22cos2cos22BABABA)2cos2(cos2cos21BABABA )2sin(2sin22sin21BAC.12sin2sin2sin41CBA例 7 ABC 的三边 满足条件,证明:cba,1cba.3718)( 5222abccba证明 因为)( 2)(2222cabcabcbacba,)(21cabcab所以,欲证的不等式等价于 .2
6、74)(95abccabcab构造一个辅助函数 .）（cxbxaxxf)()(一方面 xcabcabxcbaxxf)()()(23,abc所以)(95)95()95()95(23cabcabf；abc另一方面 因是三角形的三条边长，所以，cba,21,0cba均为正数,利用平均不等式,cba95,95,95有 )95)(95)(95()95(cbaf,7298)95()95()95(2713 cba所以 23)95)()95(cba,7298 95)(abccabcab即 .274)(95abccabcab本题我们巧妙地构造了一个辅助函数,通过从两个方面来考察，使)(xf)95(f问题得到了证
7、明. 构造辅助函数是数学中经常使用的方法,主要是通过构造函数,把问题转化、进而对所作 函数的性质进行研究,从而达到目的. 二、平均值不等式, ,niai, 2 , 1, 0KnaaaAn nL21,nnnaaaGL21,nnaaanH11121L,naaaQn n22 22 1L则 .nnnnQAGH不等式中等号成立成立的条件是.naaaL21例 8 以知,且,求证:0,cba1cba.34113113113cba证明 应用 . 33222cbacba略.例 9 已知 ,且0,cba,1111cc bb aa求证: .12111222cba证明 由已知,得 ，1111 111 111 cba令
8、,czbyax111,111,111 则 ,1zyx由 , ,111xa111yb111zc得 zz yy xx abc1111zyx yzx xzy,32222zxy yxz xyz从而 ,32abc得 .1231113222222 cbacba例 10 已知,且,求证: 0,cba1cba.427 )1 (1 )1 (1 )1 (1accbba分析与解 时,不等式中等号成立.31cba此时 ,由二元均值不等式可得49)311 (311 )1 (1 ba， 29 16)1 (81 )1 (1ba ba,29 16)1 (81 )1 (1cb cb，29 16)1 (81 )1 (1ac ac
9、以上三式相加,整理可得)(1681 227abcabccba左,)1 (1681 227abcabc而 ,所以31)(312cbaabcabc.427)311 (1681 227左例 11 已知 ,求证:)2, 0(Nn.12sin1)sin1 (sin) 12(nnn分析与解 只须证 .nn nsin) 12(sin1sin112 ,应n22sinsinsin1L左用均值不等式即可证.例 12 ,证明:1nNn.nn n nnnnCCC1 212 L分析与解 由二项式定理知,1221nn nnnCCCL又 ,应用12121222221210nn nL即可证.GnAn例 13 若,证明:nSn
10、1 211L（1）；nnSnnn1 ) 1(（2）.nnSnnn11 ) 1(分析与解 nnnnnnnSnn1 34 2321 211 LLn nn1 34 232L,nnnn1 11）（ 以下略. 三、柯西不等式 设,则niRbRaii, 2 , 1,L2 2211)(nnbababaL,)(22 22 122 22 1nnbbbaaaLL等号当且仅当， （ 为常数,）时成立.iibani, 2 , 1L例 14 设且 ,试证:0,cba1abc.23 )(1 )(1 )(1333baccabcba证法一 应用柯西不等式推论由,得 ,1abcacabcb cba223)(1从而原不等式等价于
11、 ,23222222 abcaba babcac acabcb）（）（）（）（左cbcababcacababcabc2.23 2)(3)(2132 abcabcabc证法二 （平均值不等式）由,有 ,xyyx442242yxyx)0(y得 )(13cba)(12acaba.bca bca11(411 11)1(2 同理 ,)11(411 )(13cabacb,)11(411 )(13bacbac三式相加得 .231 23)111(213abccba左例 15 已知,且,求证:Nn2n.22 n21 1-n21 41 31 21174L证明 先变形n21 1-n21 41 31 211Ln21
12、41 212)n21 211 (LL)n1 211 ()n21 31 211 (LL,n21 21 11Lnn所以不等式等价于 .22 n21 21 11 74Lnn由柯西不等式推论有nnnn nn2)2() 1(n21 21 112LL,74 132 n又由柯西不等式有2)n21 21 11(Lnn 222222 )2(1 )2(1 ) 1(1)111 (nnnLL nnnnnnn2) 12(1 )2)(1(1 ) 1(1L，21)211(nnn,22 21 21 11nnnL故原不等式成立. 例 16 设 n 是大于 1 的自然数,求证:.3121221nCnCCnn nnnL证明 当 n
13、=2 时,有,22 当 n=3 时,有,31所以下面证明中可设 n4. 联想到柯西不等式n nnnCnCCL212121 2121 222)(21n nnnCCCnLL）（.2121) 12(6) 12)(1( nnnn于是若能证得即可，312) 12(6) 12)(1(nnnnnn而式等价于,nnnnn23) 12)(132(22因为 n4，故,1323 , 13,32222nnnnnnn所以成立,n=2,3 时已检验原不等式成立.所以对的自然数有 1n.3121221nCnCCnn nnnL例 17 设为正实数,证明:nxxx,2L.nxxx xxx xxnn22 12 22 12 2 11 111LL证明 由柯西不等式知,ni iini ii xxxnxxx1222 12 2 122 1)1 ()1(LL而对 ,均有 Nk222 12)1 (kk xxx
