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1、45第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学2013 考试内容 (本大纲为数学 1，数学 2-3 需要根据大纲作部分增删)导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线 的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以 及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径2013 年考试要求年考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理
2、解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和 法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运 算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。 5.理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格郎日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用 柯西（Cauchy）中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解
3、函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值 的求法及其应用。8.会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间（a，b）内，设函数 f(x)具有二阶导数。当时，( )0fx f(x)的图形是凹的；当时，f(x)的图形是凸的） ，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐( )0fx 近线，会描绘函数的图形。了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。一、导数的定义、几何意义、物理意义、经济学意义1.1 定义：在的某一邻域内有定义，而且称( )f x0x000()()lim xf xxf x x 存在；为导数。可导必连续，连续不一定可导。00 00()
4、()lim= () xf xxf xfxx 导数的定义是可导的充要条件形式。注意以下两点 1极限 特点是分子必须存在一个定点函数。000()()lim xf xxf x x 存在； 0f x ，如下列均为导数极限定义的几种等价形式：xx一切与的等价无穷小量都可以代替 000000 0000( )()()()(sin )()limlimlim sinxxhxf xf xf xhf xf xxf xfxxxhx46 00, lim0 xffxx 可导的充分条件必须同时满足下列 4 个条件 2 1203lim xfgxfgxgx 存在；和必须有一个是，不妨设称为定点函数，1fgx2fgx 0f x
5、20fgxf x而称为动点函数；比如就不满足此条件；1fgx 02lim xfxaf x xa 必须能两侧趋于 0， ，也随之变号；比如或x1gx 2 0020() lim xfxxf xx 或就不满足此条件； 1lim hh faf ah 201 coslim (0)0 xfxf x 与为同价无穷小，比如就不满足此条12gxgx3gx 20sinlim (0)0 xfxxf x 件。而和就满足充分条件。 0lim xf af ax x 01lim (0)0xxfefx 必要条件形式（特点是：没有一个固定点） 30x 12000102 00012()()()()limlim2hhhf xhf
6、xhf xhf xhfxhhh也就是说：相应的极限存在，不一定存在。 0fx 重要公式：重要公式：如果存在，并且为同价无穷小时, 下列公式成立 0fx1,2,3ih i 0100200102123132312 0 30102 0 3()()()()limlimlimlim()()limiiiiihhhhhf xhf xf xhf xf xhf xhhh hhhhhhhfxhf xhf xhfxhWWWWW但是，存在，不一定存在，故也是可导的必要条件。陈氏第 3 技 010212 00 33()()limlimiihhf xhf xhhhfxfxhh WW存在，且为必要条件47题型 1 导数存在
7、的条件题法【例 4】函数在处连续，下列命题是否正确？ f x0x A） B） 0lim00 xf xfx若存在，则 0-lim00 xf xfxfx若存在，则C） D） 0lim0 xf xfx若存在，则存在 0-lim0 xf xfxfx若存在，则存在解：在处连续，则在处的邻域内有定义。 f x0x f x0x A），命题正确。 0lim000 xf xf xxf xxfx存在与为同价无穷小，又在连续B）， 0-lim-000 xf xfxf xfxxf xxfx存在与为同价无穷小，又在连续命题正确C）， 0lim000 xf xf xxf xxfx存在与为同价无穷小，又在连续，命题正确。
8、0000limlim xxf xff xfxx存在D）命题 0-lim00 xf xfxffx存在存在的必要条件，而非充要条件，故不一定存在,错误。【例 5】 000ff xx设，则在点可导的充要条件为 20020011) lim1 cosh ) lim111) limsinh ) lim2hhhhhAfBfehhCf hDfhf hhh存在存在存在存在解：48 -220001 cosh001 cosh01 cosh011 cosh1) lim1 coshlimlim1 cosh21 cosh 001lim20 01 cosh0lim0hhhxxxffffAfhhf xf x f xfxx 存
9、在无定义故只是必要条件。 100010011) lim1lim-lim10-0hhh xeh hhhxfeff xfeBfehehx 存在为充要条件。 230030000sinh01sinh) limsinhlimsinh 0sinh0sinh1lim lim0lim6sinh 01) lim2hhhhhhf hfhCf hhhhhf hfhhhhDfhf hh 存在，可以为无穷大故只是必要条件。存在没有固定点，显然为必要条件。1.2 的几何意义为点切线的斜率，的物理意义为点的变化率，的经济0()fx0x0()fx0x0()fx学意义为点的边际。0x1.3 存在，则和存在且相等。0()fx)(
10、0xf)(0xf1.4 可导的奇函数的导数为偶函数；可导的偶函数的导数为奇函数；求导不改变函数的周期性；但积分会改变函数的周期性。二、 导数定义的基本应用题型 2 导数定义的应用题法2.1 求分界点或边界点的导数【例 6】设在上满足，若已知， f x, a b 0, 0f xfx , 0f aAfa存在且求：。 lnlnlim baf bf aIf bf a解：设 0faB lnlnlnlnlimlimlim1111lnbababaf bf af bf ababaIbaf bf abaf bf afaBfafafafaA BA 49【例 7】设有反函数，且， f x g x0a , 0, 2f
11、 abfacfa求； 求； 1 gb 2 limlnlnxaf axf aIxaxa解：记，为的反函数，已经改变了符号，为利用反函数公式，需要将 1 yf x g x f x g x该为 注意到 g y 11, xaybg bfac并且由等式，两边再次关于求导得 1fx gyx 200xfx gyfx gy yfx gyfxgy令，则 xa 223122fa g bcgbccfa 2 221limlimlnlnlnlnlimlim = ln1ln 1ln 1xaxaxaxax tf axf ax xax xaIfaaxaxaxax xax xafafafaaaxx aa xxtt 注意等价无穷
12、小替换公式：【例 8】设；求。1 (1); 0( ) 0; 0xxe xf x x fx解：当0x ln(1)ln(1)121ln(1)ln(1)( )11xx xxxxxxxfxeeexxxx当0x 1 11ln(1) 100001ln(1) 101(1)10(1)10limlimlimlimlim2xxxxxxxxxxxxf xfxeeefeexxxxeex 50【例 9】设函数 求。 21arctan ; 112; 024xxx f xxexx fx解： 2211; 11 121 ; 02xxxfx xex 2-200110arctan 11141limlim2111112441lim2xxxxx fxxex fx
