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1、赵玉苗编高中数学排列、组合、概率、期望、方差及二项式定理优秀试题集锦赵玉苗编高中数学排列、组合、概率、期望、方差及二项式定理优秀试题集锦一.选择题1.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为 。 【答案】30【解析】四名学生两名分到一组有2 4C种,3 个元素进行全排列有3 3A种,甲乙两人分到一个班有3 3A种,所以有233 43336630C AA.2. 某学习小组共 12 人,其中有五名是“三好学生” ,现从该小组中任选 5 人参加竞赛,用表示这 5人中“三好学生”的人数,则下列概率中等于514 757 5 1
2、2C +C C C的是( B )A.1PB.1PC.1PD.2P【解析】1P14 57 5 12C C C,5 7 5 12C(0)CP ,所以514 757 55 1212CC C(0)(1)CCPP,选 B.3. 在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标显示疫情已受控制,以便向该地区居众显示可以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续 7 天每天新增感染人数不超过 5 人” ,根据连续7 天的新增病倒数计算,下列各选项中,一定符合上述指标的是( D )平均数3x ;标准差2S ;平均数3x 且标准差2S ;平均数3x 且极差小于或等于 2;众数等于 1 且极差小于或等于 1。ABC
3、D【解析】错,对,若极差等于 0 或 1,在3x 的条件下显然符号指标,若极差等于 2,则有下列可能, (1)0,1,2, (2)1,2,3, (3)2,3,4, (4)3,4,5, (5)4,5,6. 在3x 的条件下,只有(1) (2) (3)成立,符合标准。正确,若众数等于 1 且极差小于等于 4,则最大数不超过5,符合指标,故选 D.4. 将 7 个人(含甲、乙)分成三个组,一组 3 人,另两组 2 人,不同的分组数为 a,甲、乙分到同一 组的概率为 p,则 a、p 的值分别为( A )A.a=105 p= B.a=105 p= C.a=210 p= D.a=210 p=5 214 2
4、15 214 215. 已知()n展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64,则 n 等于( C )x33xA4 B5 C6 D7解:令 x=1,得()n展开式中,各项系数的和为,又各项二项式系数的和,则x33x4n2n,选 C。64642262n n nn6. 将一个骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为(B )A B C D91 121 151 181【解析】将一个骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数的可能情况共有 63种,其中点数依次成等 差数列,公差 d 可能为 0,1,2。d=0,有 6 种,d=1 有 8 种,d=2 有 4 种,故落地时向上的点数
5、依次成等差数列的概率为,选 B。181 6 6 612 7. 下列说法正确的是(D )A.做 n 次随机试验,事件 A 发生了 m 次,则事件 A 发生的概率为;nmB.样本容量很大时,频率分布直方图就是总体密度曲线; C.独立性检验是研究解释变量和预报变量的方法; D.从散点图看,如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近,就称两个变量之间具有线性相 关关系.8. 展开式中不含项的系数的和为( B )82x4xA.-1 B.0 C.1 D.29. 过正方体的顶点 A 作直线 L,使 L 与棱,所成的角都相等,这样的1111ABCDABC DAB AD1AA直线 L 可以作( D )A.1 条
6、 B.2 条 C.3 条 D.4 条【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断,重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类:通过点 A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线 AC1,第二类:在图形外部和每条棱的外角和另 2 条棱夹角相等,有 3 条,合计 4 条。 10. 一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测。方法一:在 10 箱子中各任意抽查一枚;方法二:在 5 箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为和,则( B )1p2pA. = B. D。以上三种情况都有可能1p2p1p2p1p2p【解析】方法一:每箱的
7、选中的概率为,总概率为;同理,方法二:每箱的1 100010 101(0.1) (0.9)C选中的概率为,总事件的概率为,作差得。1 5005 5141( ) ( )55C1p2p二.填空题11.341()xx展开式中常数项为 【答案】412. 将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有 种(用数字作答) 。 【答案】 1080 13. 现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任取 3 张,要求这 3 张卡片不 能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张.不同取法的种数为 472 14. 某艺
8、校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个 1 节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为_(用数字作答). 5315. 6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同 学互赠一份纪念品,已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换,则收到份纪念品的同学人数为_4 或( )24三.解答题16. 某校从 6 名学生会干部(其中男生 4 人,女生 2 人)中选 3 人参加市中学生运动会志愿者。()所选 3 人中女生人数为 ,求 的分布列及数学期望。()在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率解:(
9、I) 得可能取值为 0,1,2;由题意 P(=0)=3 4 3 61 5C C, P(=1)=21 42 3 63 5C C C, P(=2)=12 42 3 61 5C C C 的分布列、期望分别为:E=01 5+13 5+2 1 5=1 (II)设在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的事件为 C.男生甲被选中的种数为2 510C ,男生甲被选中,女生乙也被选中的种数为1 44C .P(C)=1 4 2 542 105C C.在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为2 517.某班将要举行篮球投篮比赛,比赛规则是:每位选手可以选择在 A 区投篮 2 次或选择在 B 区投篮 3次,在
10、A 区每进一球得 2 分,不进球得 0 分;在 B 区每进一球得 3 分,不进球得 0 分,得分高的选手胜出已知某参赛选手在 A 区和 B 区每次投篮进球的概率分别是9 10和1 3()如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准,问该选手应该选择哪个区投篮?请说明理由;012p1 53 51 5()求该选手在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率【答案】解:()设该选手在A区投篮的进球数为X,则9992()210105XBE X,故,则该选手在A区投篮得分的期望为923.65.设该选手在B区投篮的进球数为Y,则113( )3133YBE Y,故,则该选手在B区投篮得分的期望为3 13 .所以
11、该选手应该选择A区投篮. ()设“该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分”为事件C, “该选手在A区投篮得 4 分且在B区投篮得 3 分或 0 分”为事件D, “该选手在A区投篮得 2 分且在B区投篮得 0 分”为事件E,则事件CDEU,且事件D与事件E互斥. 81483()1009275P D, 1884( )1002775P E , 3449( )()57575P CP DEU, 故该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为49 75. 18. 一个口袋中有 2 个白球和n个红球(2n ,且*nN) ,每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两个球放回袋中) ,若摸出的两个球颜色相同为中奖
12、,否则为不中奖。(1)试用含n的代数式表示一次摸球中奖的概率 P;(2)若3n ,求三次摸球恰有一次中奖的概率;(3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为( )f p,当n为何值时,( )f p取最大值。解:(1)一次摸球从2n个球中任选两个,有2 2nC种选法,其中两球颜色相同有22 2nCC种选法;一次摸球中奖的概率222 2 22 22 32nnCCnnPCnn(2)若3n ,则一次摸球中奖的概率是2 5P ,三次摸球是独立重复实验,三次摸球中恰有一次中奖的概率是12 3354(1)(1)125PCPP (3)设一次摸球中奖的概率是p,则三次摸球中恰有一次中奖的概率是12 3( )(1)f p
13、Cpp32363ppp,01p,2( )912331 31fpppppQ( )f p在10,3是增函数,在1,13是减函数,当1 3p 时,( )f p取最大值 2221 332nnpnn2,)nnN(,2n,故2n 时,三次摸球中恰有一次中奖的概率最大。19. 现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择,为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏.(1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率;(2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人
14、数的概率;(3)用X,Y分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记|XY|,求随机变量的分布列与数学期望E.解:依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 ,去参加乙游戏的概率为 .设“这 4 个1 32 3人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i0,1,2,3,4),则P(Ai)Ci4i.i4(1 3) (2 3)(1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率P(A2)C22.2 4(1 3) (2 3)8 27(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则BA3A4,由于A3与A4互斥,故P(B)P(A3)P(A4)C3C4 .3 4(1 3) (2 3)4 4(1 3)1 9所以,这 4 个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 .1 9(3)的所有可能取值为 0,2,4.由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故P(0)P(A2),8 27P(2)P(A1)P(A3),40 81P(4)P(A0)P(A4).17 81所以的分布列是024P8 2740 8117 81随机变量的数学期望E0248 2740 8117 81148 8120. 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次