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1、赵玉苗编高中数学排列、组合、概率、期望、方差及二项式定理优秀试题集锦赵玉苗编高中数学排列、组合、概率、期望、方差及二项式定理优秀试题集锦一.选择题1.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 。 【答案】30【解析】四名学生两名分到一组有2 4C种，3 个元素进行全排列有3 3A种，甲乙两人分到一个班有3 3A种，所以有233 43336630C AA.2. 某学习小组共 12 人，其中有五名是“三好学生” ，现从该小组中任选 5 人参加竞赛，用表示这 5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于514 757 5 1
2、2C +C C C的是（ B ）A.1PB.1PC.1PD.2P【解析】1P14 57 5 12C C C,5 7 5 12C(0)CP ,所以514 757 55 1212CC C(0)(1)CCPP，选 B.3. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续 7 天每天新增感染人数不超过 5 人” ，根据连续7 天的新增病倒数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ D ）平均数3x ；标准差2S ；平均数3x 且标准差2S ；平均数3x 且极差小于或等于 2；众数等于 1 且极差小于或等于 1。ABC
3、D【解析】错，对，若极差等于 0 或 1，在3x 的条件下显然符号指标，若极差等于 2，则有下列可能， （1）0,1,2， （2）1,2,3， （3）2,3,4， （4）3，4，5， （5）4，5，6. 在3x 的条件下，只有（1） （2） （3）成立，符合标准。正确，若众数等于 1 且极差小于等于 4，则最大数不超过5，符合指标，故选 D.4. 将 7 个人（含甲、乙）分成三个组，一组 3 人，另两组 2 人，不同的分组数为 a，甲、乙分到同一 组的概率为 p，则 a、p 的值分别为（ A ）A.a=105 p= B.a=105 p= C.a=210 p= D.a=210 p=5 214 2
4、15 214 215. 已知()n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64，则 n 等于（ C ）x33xA4 B5 C6 D7解:令 x=1，得()n展开式中，各项系数的和为，又各项二项式系数的和，则x33x4n2n，选 C。64642262n n nn6. 将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（B ）A B C D91 121 151 181【解析】将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数的可能情况共有 63种，其中点数依次成等 差数列，公差 d 可能为 0，1，2。d=0,有 6 种，d=1 有 8 种，d=2 有 4 种，故落地时向上的点数
5、依次成等差数列的概率为，选 B。181 6 6 612 7. 下列说法正确的是（D ）A.做 n 次随机试验，事件 A 发生了 m 次，则事件 A 发生的概率为；nmB.样本容量很大时，频率分布直方图就是总体密度曲线； C.独立性检验是研究解释变量和预报变量的方法； D.从散点图看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，就称两个变量之间具有线性相 关关系.8. 展开式中不含项的系数的和为（ B ）82x4xA.-1 B.0 C.1 D.29. 过正方体的顶点 A 作直线 L，使 L 与棱,所成的角都相等，这样的1111ABCDABC DAB AD1AA直线 L 可以作（ D ）A.1 条
6、 B.2 条 C.3 条 D.4 条【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点 A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线 AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另 2 条棱夹角相等，有 3 条，合计 4 条。 10. 一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在 10 箱子中各任意抽查一枚；方法二：在 5 箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为和，则（ B ）1p2pA. = B. D。以上三种情况都有可能1p2p1p2p1p2p【解析】方法一：每箱的
7、选中的概率为，总概率为；同理，方法二：每箱的1 100010 101(0.1) (0.9)C选中的概率为，总事件的概率为，作差得。1 5005 5141( ) ( )55C1p2p二.填空题11.341()xx展开式中常数项为 【答案】412. 将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答） 。 【答案】 1080 13. 现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任取 3 张,要求这 3 张卡片不 能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张.不同取法的种数为 472 14. 某艺
8、校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个 1 节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为_(用数字作答). 5315. 6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同 学互赠一份纪念品,已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换,则收到份纪念品的同学人数为_4 或（ ）24三.解答题16. 某校从 6 名学生会干部（其中男生 4 人，女生 2 人）中选 3 人参加市中学生运动会志愿者。（）所选 3 人中女生人数为 ，求 的分布列及数学期望。（）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率解：（
9、I） 得可能取值为 0,1,2；由题意 P(=0)=3 4 3 61 5C C, P(=1)=21 42 3 63 5C C C, P(=2)=12 42 3 61 5C C C 的分布列、期望分别为：E=01 5+13 5+2 1 5=1 （II）设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为 C.男生甲被选中的种数为2 510C ,男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为1 44C .P(C)=1 4 2 542 105C C.在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为2 517.某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在 A 区投篮 2 次或选择在 B 区投篮 3次，在
10、A 区每进一球得 2 分，不进球得 0 分；在 B 区每进一球得 3 分，不进球得 0 分，得分高的选手胜出已知某参赛选手在 A 区和 B 区每次投篮进球的概率分别是9 10和1 3（）如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准，问该选手应该选择哪个区投篮？请说明理由；012p1 53 51 5（）求该选手在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率【答案】解：（）设该选手在A区投篮的进球数为X，则9992()210105XBE X，故，则该选手在A区投篮得分的期望为923.65.设该选手在B区投篮的进球数为Y，则113( )3133YBE Y，故，则该选手在B区投篮得分的期望为3 13 .所以
11、该选手应该选择A区投篮. （）设“该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分”为事件C， “该选手在A区投篮得 4 分且在B区投篮得 3 分或 0 分”为事件D， “该选手在A区投篮得 2 分且在B区投篮得 0 分”为事件E，则事件CDEU，且事件D与事件E互斥. 81483()1009275P D， 1884( )1002775P E ， 3449( )()57575P CP DEU， 故该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为49 75. 18. 一个口袋中有 2 个白球和n个红球（2n ，且*nN） ，每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中） ，若摸出的两个球颜色相同为中奖
12、，否则为不中奖。（1）试用含n的代数式表示一次摸球中奖的概率 P；（2）若3n ，求三次摸球恰有一次中奖的概率；（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为( )f p，当n为何值时，( )f p取最大值。解：（1）一次摸球从2n个球中任选两个，有2 2nC种选法，其中两球颜色相同有22 2nCC种选法；一次摸球中奖的概率222 2 22 22 32nnCCnnPCnn（2）若3n ，则一次摸球中奖的概率是2 5P ，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是12 3354(1)(1)125PCPP （3）设一次摸球中奖的概率是p，则三次摸球中恰有一次中奖的概率是12 3( )(1)f p
13、Cpp32363ppp，01p，2( )912331 31fpppppQ( )f p在10,3是增函数，在1,13是减函数，当1 3p 时，( )f p取最大值 2221 332nnpnn2,)nnN（，2n，故2n 时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大。19. 现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏.（1）求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率；（2）求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人
14、数的概率；（3）用X，Y分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记|XY|，求随机变量的分布列与数学期望E.解：依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为 ，去参加乙游戏的概率为 .设“这 4 个1 32 3人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i0,1,2,3,4)，则P(Ai)Ci4i.i4(1 3) (2 3)（1）这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率P(A2)C22.2 4(1 3) (2 3)8 27（2）设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则BA3A4，由于A3与A4互斥，故P(B)P(A3)P(A4)C3C4 .3 4(1 3) (2 3)4 4(1 3)1 9所以，这 4 个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 .1 9（3）的所有可能取值为 0,2,4.由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P(0)P(A2)，8 27P(2)P(A1)P(A3)，40 81P(4)P(A0)P(A4).17 81所以的分布列是024P8 2740 8117 81随机变量的数学期望E0248 2740 8117 81148 8120. 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次
