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1、217初中数学竞赛专题选讲（初三.16）解三角形一、内容提要一、内容提要 1. 由三角形的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解三角形. 2. 解直角三角形所根据的定理 (在 RtABC 中，C=Rt). 边与边的关系： 勾股定理c2=a2+b2. 角与角的关系：两个锐角互余A+B=Rt 边与角的关系：（锐角三角函数定义）SinA=， CosA=, tanA=, CotA=.ca cb ba ab 互余的两个角的三角函数的关系： Sin(90 A)= CosA， Cos(90 A)= SinA， ootan(90 A)= CotA, Cot(90 A)= tanA.oo 特殊角的三角函数值：
2、角 A 的度数030456090SinA 的值02122 231CosA 的值123 2221 0tanA 的值03313不 存 在CotA 的值不 存 在31 330锐角的正弦、正切随着角度的增大而增大（即增函数） ；余弦、余切随着角度的增大 而减小（即减函数）. 3. 解斜三角形所根据的定理 (在ABC 中) 正弦定理： =2R. (R 是ABC 外接圆半径).SinCc SinBb SinAa 余弦定理： c2=a2+b22abCosC； b2=c2+a22ca CosB； a2=c2+b22cbCosA. 互补的两个角的三角函数的关系：Sin(180 A)= sinA， Cos(180
3、 A)= cosA ， ootan(180 A)=cotA， cotA(180 A)=tanA.oo SABCabsinC=bcsinA=casinB.21 21 214. 与解三角形相关的概念：水平距离，垂直距离，仰角，俯角，坡角，坡度，象限角，水平距离，垂直距离，仰角，俯角，坡角，坡度，象限角， 方位角等方位角等.cbaABC218二、例题二、例题例 1. 已知：四边形 ABCD 中，A60 ，CBAB，CDAD，CB2，CD1. o求：AC 的长.解：延长 AD 和 BC 相交于 E，则E30 .o在 RtECD 中，sinE=, CECDCE=12. EB4.o30sin1 21在 R
4、tEAB 中， tanE=, EBABAB=EBtan30。=.334根据勾股定理 AC.22 3342）（2132又解又解：连结 BD，设 AB 为 x，AD 为 y. 根据勾股定理 AC2x2+22=y2+12.根据余弦定理 BD2x2+y22xyCos60 =2212221Cos120 .oo得方程组 . 07032222xyyxyx，解这个方程组， 得 x=. (以下同上一解)334例 2. 已知：如图，要测量山 AB 的高，在和 B 同一直线上的 C，D 处,分别测得对 A 的 仰角的度数为 n 和 m，CD=a. 试写出表示 AB 的算式. 解：设 AB 为 x，BD 为 y. 在
5、 RtABD 和 RtABC 中， .cotcot nxaymxy，xCotm=xCotna . x=.CotmCotna 答：山高 AB.CotmCotna 例 3. 已知：四边形 ABCD 中，ABC135 ，BCD120 ，CD6，AB，oo6BC5.3yx6012A BCDEyxanmABCD219求：AD 的长. （1991 年全国初中数学联赛题）年全国初中数学联赛题） 解：作 AEBC 交 CD 于 E， BFAE 于 F， CGAE 于 G. 在 RtABF 中，BFSin45 =, AFBF.6o33在 RtCGE 中，GECGtan30 =1, o333CE2， ED4.AE
6、=+5+1=6， AED120 .33o在AED 中，根据余弦定理，得AD26242264Cos120 =76.oAD2.19例 4. 如图，要测量河对岸 C，D 两个目标之间的距离，在 A，B 两个测站，测得平面角CAB30 ，CAD45 ，DBC75 ，DBA45 ，AB.oooo3试求 C，D 的距离. 解：在ABC 中，ACBCAB30 ，oBCAB, 3AC2cos30 =3.3o在ABD 中，ADB60o由正弦定理， ， o45sinADo60sinABADsin45 =.o60sinABo323 222在ACD 中，由余弦定理，得CD232（）223Cos45 =522oCD.5
7、例 5. 已知：O 是凸五边形 ABCDE 内的一点且12，34，56，78. 求证：9 和10 相等或互补 (1985 年全国初中数学联赛题年全国初中数学联赛题) 证明：根据正弦定理，得375453045 ABCD10987654312ABCDEO5366120135ABCDEFG2205sin4sin3sin2sin1sin10sinOAODOCOCOBOB=.9sin8sin7sin6sinOAOEOEODsin10=sin9 9 和10 相等或互补.例 6. 已知：二次方程 mx2(m2)x+(m1)=0 两个不相等的实数根，恰好是直角三41角形两个锐角的正弦值. 求：这个直角三角形的
8、斜边与斜边上的高的比. 解：作 RtABC 斜边上的高 CD.则 sinA=, sinB=.ACCD BCCDsinA 和 sinB 是方程的两根， 根据韦达定理，得sinA+ sinB=； (1) mm2sinA sinB= . (2) mm 41即=. （3）ACCD BCCD mm 41(1)22(2)得： (sinA)2+(sinB)2=()2.mm2 mm 21sinB=cosA, 且 (sinA)2+( cosA)2=1，()2=1， mm2 mm 21m2+7m8=0, m=1， m=8.由（3）.ACCD BCCD ABCD ABCDCD2 mm 41.CDAB 14 mm当
9、m=1 时，没有意义； 当 m=-8 时，=. CDAB 932即直角三角形斜边与斜边上的高的比是 329.三、练习三、练习 1. 填空： 如果从点 A 对着点 B 测得仰角是 60 ，那么从点 B 对着点 A 测得的俯角是度.o 点 C 在点 D 的南偏东 25 ，那么点 D 在 C 的方向是.oABCD221 斜坡 AB 的坡角是 30 ，那么 AB 的坡度 i=1.o 锐角 A45 ，那么下列函数的取值范围是：oSinA_， CosA_， tanA_，cotA_. 已知：30 A60 ，那么如下的函数的取值范围是ooA 的余弦，A 的正切.2. 已知：ABC 中，B45 ，AC7，点 D
10、 在 BC 上，CD3， D5.o求 AB 的长. 3. 如图观测塔 AB 的高为 a 米，从塔顶 A 测得地面上同一方向上的两个目标 C，D 的俯角分别是 30 和 45 ，oo求 CD 的距离. 4. 船 A 在船 B 的正北，它们同时向东航行，时速分别是 15 和 20 海里，3 小时后，船 B 在船 A 的东南，问这时两船相距多远？5. 一只船向南航行，出发前在灯塔 A 的北偏东 30 ，相距 15 海里，2 小时后，灯塔在船o的北偏西 60 ，求船的航行速度.o6. 如图要测量建筑物 AB 的高，先在楼下 C 测得对顶端 A 的仰角为 45 ，然后在楼上 D 测得对 A 的仰角为 3
11、0 ，已知oo楼高 CD=m 米，求 AB. 7. 已知：ABC 中，a=21, b=17, c=10.求：SABC. 8. 已知：ABC 中，SinA SinBSinC=357. 求：ABC 的最大角的度数.9. 船 B 在艇 A 的方位角 120 ，相距 24 海里处，发出呼救，报告说：它沿着方位角 240o的方向前进，速度是每小时 9 海里. A 艇以最快的时速 21 海里赶去营救，问应沿什么o方向，要经过几小时才能靠近船 B？ 10. 已知：锐角三角形 ABC 的外接圆直径 AE 交 BC 于 D.求证：tanBtanC=ADDE提示：作 BC 边的高 AF(h)并延长交圆于 G,连结 GE11. 已知：ABC 中，A=45 ，AB=，BC=2，不用正弦定理能解答这个三角形吗？o6如不能，说明理由；如能请解这个三角形. (1981 年福建省初中数学联赛题年福建省初中数学联赛题) 12. 如图已知：ABCD 为圆内接四边形，过 AB 上一点 M 引 MP，MQ，MR 分别垂直于 BC，CD，AD，连结 PR 和 MQ 交于 N.求证：.MABM NRPN(1983 年福建省初中数学联赛题年福建省初中数学联赛题) 13. 如图已知：锐角ABC 中，AC=1，AB=c，ABC 的外接圆半径 R1.求证： Cos0233
