如何教好一次函数及其应用

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1、本 科 毕 业 论 文论 文 题 目 ：如何教好一次函数及其应用指 导 老 师 ：章绍辉学 生 姓 名 ：林少琼学 号 ：44341312320017院 系 ：网络教育学院专 业 ：数学与应用数学（师范）写 作 批 次 ： 2014 秋原原 创创 承承 诺诺 书书我承诺所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。若本论文及资料与以上承诺内容不符，本人愿意承担一切责任。毕业论文作者签名： 林少琼 日期： 2014 年 10 月 18 日摘要摘要函数是中学数学最重要的数学思想之一，是解

2、决实际问题的一个有效的数学模型。将对一次函数的概念，图像，性质及其一次函数表达式的几种常见题型和一次函数在实际生活中的应用作一总结。关键词：关键词：一次函数；概念；数学思想；数学模型；实际运用IAbstractFunction is one of the most important mathematical thought in middle school mathematics, is an effective mathematical model to solve practical problems. Will the concept of a function, image, nat

3、ure and a function of several common topic and the application of a function in the real life make a summaryKey words: a function; Concept; Mathematical thinking; Mathematical model; The practical application II导言导言函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，而一次函数是学习函数的“入门篇”，也是初中数学教学的一个重点，同时也是一个难点。它研究的是一个变化的过程，是数与形的结合。学生以

4、往所学的数学，都是相对固定不变的值，而一次函数则是一个变化的过程，从不“动”到“动”，数学思想上要有一个较大的转折，也是学生对数学认识上的“更上一层楼”。而在一次函数的教学中，大多数学生的思想还停留在“不动”的数学观上，要使学生的数学观从“不动”到“动”，得到一个较大的飞越，切入点就是在一次函数的学习上，教师必须把握好这一知识点的教学，为今后的学习作好铺垫。III如何教好一次函数及其应用如何教好一次函数及其应用一次函数是函数大家族中的主要成员之一，是研究两个变量和学习其它函数的基础，它的表达式简单，性质也不复杂，但在我们的日常生活中的应用却十分广泛，与其它函数的联系也十分密切，许多实际问题只要

5、我们注意细心观察，认真分析，及时将问题转化为一次函数模型，再得用一次函数的性质即可求解。因此要求学生学会利用函数图象解二元一次方程组和通过学习了解变量问题利用函数方法的优越性。通过经历观察、思考等数学活动，发展学生合情推理能力，使学生能有条理地、清晰地阐述观点，而且体验数形结合思想意义，逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力并体会解决问题的策略多样性，发展实践能力和创新精神。一次函数是初中数学的一个重点，我们学习一次函数时，一定要把一次函数的定义、性质和性质紧密的结合起来。一次函数的定义、性质和性质是一次函数的三个重点，只要将三者紧密的结合起来，才能真正地领悟其真谛

6、，掌握其要领，并能将有关问题运用到实际问题之中。所以这一部分从一次函数的概念、图像及其性质入手，引出学习一次函数的重要性。一、函数的概念及函数的表示方法设在某变化过程中有两个变量 和 ，如果对于 的每一个确定的值，xyx都有唯一确定的值与它对应，那么就说 是自变量， 是 的函数。yxyx自变量的取值范围：当函数式可以用整式、分式、根式（或者是它们的组合式）表示时，必须使这些式子有意义，当函数式由实际问题构成时，还必须保证实际问题有意义1。二、一次函数的概念，图像和性质1. 定义：形如（是常数， ）的函数， 叫做 的一bkxybk、k0yx次函数。2.图像及性质：表 1 一次函数的性质一次函数（

7、是常数， ）bkxybk、k0的性质图像是经过点和的一条直线), 0(b)0 ,(kb的符号b的符号 k0b0b0b随k0y的增大而增x大图像经过一、二、三象限图像经过一、三象限图像经过一、三、四象限随k0y的增大而减x小图像经过一、二、四象限图像经过二、四象限图像经过二、三、四象限三、一次函数的表示方法有很多，下面介绍确定一次函数解析式的五种方法：1、根据直线的解析式和图像上一个点的坐标，确定函数的解析式 例如：若函数 y=3x+b 经过点（2，-6），求函数的解析式。分析：因为，函数 y=3x+b 经过点（2，-6），所以，点的坐标一定满足函数的关系式，所以，只需把 x=2，y=-6 代入

8、解析式中，就可以求出 b的值。函数的解析式就确定出来了。 解：因为，函数 y=3x+b 经过点（2，-6），所以，把 x=2，y=-6 代入解析式中，得：-6=32+b，解得：b=-12，所以，函数的解析式是：y=3x-12、根据直线经过两个点的坐标，确定函数的解析式 例如：直线 y=kx+b 的图像经过 A（3，4）和点 B（2，7），求函数的表达式。 分析：把点的坐标分别代入函数的表达式，用含 k 的代数式分别表示b，因为 b 是同一个，这样建立起一个关于 k 的一元一次方程，这样就可以把 k 的值求出来，然后，就转化成例 1 的问题了。 解：因为，直线 y=kx+b 的图像经过 A（3，

9、4）和点 B（2，7），所以，4=3k+b，7=2k+b，所以，b=4-3k，b=7-2k，所以，4-3k=7-2k，解得：k=-3，所以，函数变为：y=-3x+b，把 x=3，y=4 代入上式中，得：4=-33+b，解得：b=13，所以，一次函数的解析式为：y=-3x+13。 3、根据函数的图像，确定函数的解析式例如：如图 1 表示一辆汽车油箱里剩余油量 y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系 求油箱里所剩油 y（升）与行驶时间 x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量 x 的取值范围。 分析：根据图形是线段，是直线上的一部分，所以，我们可以确定油箱里所剩油 y（升）是行驶时间 x（小时）

10、的一次函数，明白这些后，就可以利用设函数解析式的方法去求函数的解析式。 解：因为，函数的图像是直线，所以，油箱里所剩油 y（升）是行驶时间 x（小时）的一次函数，设：一次函数的表达式为：y=kx+b，因为，图像经过点 A（0，40），B（8，0），所以，把 x=0，y=40，x=8，y=0，分别代入 y=kx+b 中，得：40=k0+b，0=8k+b 解得：k=-5，b=40，所以，一次函数的表达式为：y=-5x+40。当汽车没有行驶时，油箱里的油是 40升，此时，行驶的时间是 0 小时；当汽车油箱里的油是 0 升，此时，行驶的时间是 8 小时，所以，自变量 x 的范围是：0x8. 4、根据平

11、移规律，确定函数的解析式 例如：如图 2，将直线 OA 向上平移 1 个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 分析：仔细观察图像，直线 OA 经过坐标原点，所以，直线 OA 表示的一个正比例函数的图像，并且当 x=2 时 y=4，这样，我们就可以求出，平移的起始函数的解析式，根据函数平移的规律，就可以确定一次函数的解析式。 把正比例函数 y=kx（k0）的图像向上或者向下平移|b|个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k0，b0）的图像。 具体平移要领： 当 b0 时，把正比例函数 y=kx（k0）的图像向上平移 b 个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k0）的图像。 当

12、 b0 时，把正比例函数 y=kx（k0）的图像向下平移|b|个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k0）的图像。 解：因为，直线 OA 经过坐标原点，所以，直线 OA 表示的一个正比例函数的图像，设 y=kx，把 x=2，y=4 代入上式，得：4=2k，解得 k=2，所以，正比例函数的解析式为：y=2x，所以，直线向上平移 1 个单位，所得解析式为：y=2x+1，所以，这个一次函数的解析式是 y=2x+1。5、根据直线的对称性，确定函数的解析式 例如：已知直线 y=kx+b 与直线 y=-3x+7 关于 y 轴对称，求 k、b 的值。分析：直线 y=kx+b 与直线 y=-3x+7 关于 y

13、 轴对称，所以，对称点的横坐标互为相反数，纵坐标保持不变，这可以是解题的理论依据，当然，也可以从已知直线解析式的图像上，确定出两个点的坐标，分别求出它们关于 y 轴的对称点的坐标，然后利用待定系数法，计算出 k、b 的值。 解法 1：设 A（x，y）是直线 y=-3x+7 上一个点，其关于 y 轴对称的点的坐标为（-x，y），则有：y=-3x+7，y=-kx+b 整理，得：-3x+7=-kx+b，比较对应项，得：k=3，b=7。 解法 2：设 A（m，n）是直线 y=-3x+7 上一个点，其关于 y 轴对称的点的坐标为（a，b），则有：b=n，m=-a，因为，A（m，n）是直线 y=-3x+7

14、 上一个点，所以，点的坐标满足函数的表达式，即 n=-3m+7，把n=b，m=-a，代入上式，得：b=-3（-a）+7，整理，得：b=3a+7，即y=3x+7，它实际上与直线 y=kx+b 是同一条直线，比较对应项，得：k=3，b=7。 四、学生在学习一次函数中出现的困难九年义务教学中在七年级下学期,已经探索了变量之间的关系,在此基础上,八年级上学期安排学习一次函数,继续通过对变量关系的考察,让学生再次体会函数的概念,能判断两变量之间的关系是否可看作函数。进一步研究其中最简单的一种函数一次函数。由于有前面内容的铺垫,学生已经会建立变量之间的关系,容易学习,但对于初学者,大部分学生难以在规定的课

15、时内完全理解新学知识,并熟练掌握所学内容。经常会出现两种现状:(1)上课认真听课,明白了教师讲的例题,可独立完成作业时,不知所措。(2)不能掌握数与形结合思想,掌握图形与表格和解析式的转换思想,使教学效果明显降低,那么怎样解决学生出现上述问题呢?通过对一次函数的教法进行分析与研究。发现应该从一次函数的教学目标入手，让学生理解一次函数和正比例函数的概念,在理解的基础上根据已知信息写出简单的一次函数表达式,初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。再者，从中考函数应用试题来看，应用问题的材料和背景大多来自于我们的生活，以及新闻、经济等一些社会热点，都是一些我们经常碰到，比较熟悉的有共性的东西

16、，这些应用题在中考中难度中等，但正确度往往不高，有些同学平时碰到这类问题就望题兴叹、一筹莫展，无从下手，缺乏用学过的数学知识解决实际问题的能力，如何使这类问题得到改进，本人觉得首先应重视利用教材培养学生的数学应用意识，摆脱纯演绎数学的模式，尽可能再现数学发现的基本过程，以及数学与生产、生活的联系。将学生所学的一次函数的知识与实际问题进行了一次“亲密的接触”。在教学中开展合作探究、自主交流等活动，利用所学到的知识，具有创造性的去解决实际生活中的问题，使学生获取社会知识的同时，会用多种策略去看待问题，解决问题，培养学生的辩证思维能力。利用函数知识解决问题，使学生体会到函数的本质是对应关系。 五、一次函数的教材教法研究函数知识是人们在生活，生产实践中应用最广泛的数学知识之一。利用函数可以清楚地描述两个数量之间的关系和变化规律。因此，教师一定要注意研究一次函数的教材和教法，使学生能掌握有关函数的基本知识，并能熟练地运用于实际。（1）对于“函数”，全