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1、1龙文一对一龙文一对一添加辅助线解特殊四边形题添加辅助线解特殊四边形题 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.一、和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.1利用一组对边平行且相等构造平行四边形1. 如图，已知点 O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点，四边形 OCDE 是平行四边形.求证:OE 与 AD 互相平分.证明:连结 AE、OD，因为是四边形 OCDE 是平行四边形，所以 OC/DE
2、，OC=DE，因为 0 是 AC 的中点，所以 A0/ED，AO=ED， 所以四边形 AODE 是平行四边形，所以 AD 与 OE 互相平分. 方法点拨：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可方法点拨：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形试通过添加辅助线构造平行四边形. .2利用两组对边平行构造平行四边形2 如图 2，在ABC 中，E、F 为 AB 上两点，AE=BF，ED/AC，FG/AC 交 BC 分别为D，G.求证:ED+FG=AC.分析:要证明 ED+FG=AC,因为 DE/AC,可以经过点 E 作
3、 EH/CD 交 AC 于 H 得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明 FG=AH.证明:过点 E 作 EH/BC,交 AC 于 H,因为 ED/AC,所以四边形 CDEH 是平行四边形,所以 ED=HC,又 FG/AC,EH/BC,所以AEH=B,A=BFG,又 AE=BF,所以AEHFBG,所以 AH=FG,所以 FG+DE=AH+HC=AC.方法点拨：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得方法点拨：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题到平行四边形解决问题. .3利用对角线互相平分构造平行四边形23
4、 如图，已知 AD 是ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=EF.求证 BF=AC.分析：要证明 BF=AC，一种方法是将 BF 和 AC 变换到同一个三角形中，利用等边对等角； 另一种方法是通过等量代换，寻找和 BF、AC 相等的线段代换.寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形.证明：延长 AD 到 G，使 DG=AD，连结 BG，CG，因为 BD=CD，所以四边形 ABGC 是平行四边形，所以 AC=BG，AC/BG，所以1=4，因为 AE=EF，所以1=2，又2=3，所以1=4，所以 BF=BG=AC.方法点拨：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实
5、际上是采用了平移法构造方法点拨：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形平行四边形. .当已知中点或中线应思考这种方法当已知中点或中线应思考这种方法. .（倍长中线法）（倍长中线法）二、和菱形有关的辅助线的作法 方法点拨：和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理方法点拨：和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题或性质定定理解决问题. .4 如图，在ABC 中，ACB=90，BAC 的平分线交 BC 于点 D，E 是 AB 上一点，且AE=AC，EF/BC 交 AD 于点 F，求证：四边形
6、 CDEF 是菱形.分析：要证明四边形 CDEF 是菱形，根据已知条件，本题有量种判定方法，一是证明四边相等的四边形是菱形，二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形.根据 AD 是BAC 的平分线，AE=AC，可通过连接 CE，构造等腰三角形，借助三线合一证明 AD 垂直 CE.求 AD 平分 CE.证明：连结 CE 交 AD 于点 O，由 AC=AE，得ACE 是等腰三角形，因为 AO 平分CAE，所以 AOCE，且 OC=OE，因为 EF/CD，所以1=2， 又因为EOF=COD，所以DOC 可以看成由FOE 绕点 O 旋转而成，所以 OF=OD，所以 CE、DF 互相垂直平分.所以四边形
7、 CDEF 是菱形.5 如图，四边形 ABCD 是菱形，E 为边 AB 上一个定点，F 是 AC 上一个动点，求证EF+BF 的最小值等于 DE 长.3分析：要证明 EF+BF 的最小值是 DE 的长，可以通过连结菱形的对角线 BD，借助菱形的对角线互相垂直平分得到 DF=BF，然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题.证明：连结 BD、DF.因为 AC、BD 是菱形的对角线，所以 AC 垂直 BD 且平分 BD，所以 BF=DF，所以 EF+BF=EF+DFDE，当且仅当 F 运动到 DE 与 AC 的交点 G 处时，上式等号成立，所以 EF+BF 的最小值恰好等于 DE 的长.方法点拨：菱
8、形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不方法点拨：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1 1）作菱形的高；（）作菱形的高；（2 2）连结菱形的对角线）连结菱形的对角线. .三、与矩形有关的辅助线作法 方法点拨：和矩形有关的题型一般有两种：（方法点拨：和矩形有关的题型一般有两种：（1 1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（三角形借助勾股定理解决问题；（2 2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线）证
9、明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题相等这一性质解决问题. .和矩形有关的试题的辅助线的作法较少和矩形有关的试题的辅助线的作法较少. .6 如图，已知矩形 ABCD 内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD 的长.分析：要利用已知条件，因为矩形 ABCD，可过 P 分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题.解：过点 P 分别作两组对边的平行线 EF、GH 交 AB 于 E，交 CD 于 F，交 BC 于点 H，交 AD于 G.因为四边形 ABCD 是矩形，所以 PF2=CH2=PC2-PH2，DF2=AE2=AP2-EP2，PH2+PE2=BP
10、2，所以 PD2=PC2-PH2+AP2-EP2=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18，所以 PD=32. 说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到 PD 与 PA、PB、PC 之间的关系，求到 PD 的长.四、与正方形有关辅助线的作法方法点拨： 正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，4有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.7 如图，过正方形 ABCD 的顶点 B 作 BE/AC，且 AE=AC，又 CF/AE.求证：BC
11、F=21 AEB.证明：连接 BD 交 AC 于 O，作 AHBE 交 BE 于 H.在正方形 ABCD 中，ACBD，AO=BO，又 BE/AC，AHBE，所以 BOAC，所以四边形 AOBH 为正方形，所以 AH=AO=21 AC，因为 AE=AC，所以AEH=30，因为 BE/AC，AE/CF，所以 ACFE 是菱形，所以AEF=ACF=30，因为 AC 是正方形的对角线，所以ACB=45，所以BCF=15，所以BCF=21 AEB. 说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形 AHBO，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题.五、和
12、中位线有关辅助线的作法8 如图，在四边形 ABCD 中，AC 于 BD 交于点 0，AC=BD，E、F 分别是 AB、CD 中点，EF分别交 AC、BD 于点 H、G.求证：OG=OH.分析：欲证 0G=OH，而 OG、OH 为同一个三角形的两边，又 E、F 分别是 AB、CD 中点，所以可试想作辅助线，构造三角形中位线解决问题.证明：取 AD 中点 P，连结 PE，PF.因为 E 是 AB 的中点，F 是 CD 的中点，所以 PE/BD，且 PE=21 BD，PF/AC，且 PF=21 AC，所以PEF=PFE，又PEF=OGH，PFE=OHG，所以OGH=OHG，所以 OG=OH.方法点拨
13、：遇中点，常作中位线，借助中位方法点拨：遇中点，常作中位线，借助中位 线的性质解题线的性质解题. .5321图 4图 3KPFED CFED ABCBA第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。练习：已知：如右上图 4，在正方形中，分别是、的中点，与交于点，求证：ABCDFE,CDDABECFPABAP 证明：延长交的延长线于点CFBAK 四边形为正方形 ABCD且,ABCDCDAB ADCD 090DBCDBAD 又, K1090DAKDAFDF CDFKAF ABCDAKADDFCDCE21,21DFCE 090DBCDBCECDF21 ,则0903109032090CPB090KPBABAP 综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行 四边形转化为三角形（或特殊三角形） 、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。
