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1、 难点 18 不等式的证明策略 不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式 证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学 式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力. 难点磁场()已知 a0，b0，且 a+b=1.求证：(a+)(b+).a1 b1 425案例探究例 1证明不等式(nN*)nn2131211L命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能 力、构造能力以及逻辑分析能力，属级题目. 知识依托：本题是一个与自然数 n 有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉 及不等式证明
2、中的放缩法、构造法等. 错解分析：此题易出现下列放缩错误：这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的. 技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从 n=k 到 n=k+1 的过渡采用了放缩法；证法 二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠 心，发人深省. 证法一：(1)当 n 等于 1 时，不等式左端等于 1，右端等于 2，所以不等式成立；(2)假设 n=k(k1)时，不等式成立，即 1+2，k13121Lk, 1211) 1(11) 1(21121131211kkkkkkkkkkL则当 n=k+1 时，不等式成立.综合(1)、(2)得：当 nN
3、*时，都有 1+2.n13121Ln另从 k 到 k+1 时的证明还有下列证法：,1111212212:. 12112, 01),1(21) 1(2, 0)1() 1() 1(2) 1(21) 1(22kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkQQQ又如. 12112kkk证法二：对任意 kN*，都有：.2)1(2)23(2) 12(22131211),1(21221nnnnkkkkkkkLL因此证法三：设 f(n)= ),131211 (2nnL那么对任意 kN* 都有：01)1() 1(2) 1(11 1) 1(2) 1(21111)1(2)() 1(2 kkkkkkkkkkkkkkk
4、kfkff(k+1)f(k) 因此，对任意 nN* 都有 f(n)f(n1)f(1)=10，.2131211nnL例 2求使a(x0，y0)恒成立的 a 的最小值.yx yx 命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于 级题目. 知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求 a 的最值蕴含于恒成立的不等式 中，因此需利用不等式的有关性质把 a 呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口， 然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值. 错解分析：本题解法三利用三角换元后确定 a 的取值范围，此时我们习惯是将 x、y与 cos、sin来对应进行换元，即令=cos，=s
5、in(0)，这样也得xy2asin+cos，但是这种换元是错误的.其原因是：(1)缩小了 x、y 的范围；(2)这样换元相 当于本题又增加了“x、y=1”这样一个条件，显然这是不对的. 技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数 a 满足不等关系，af(x)，则 amin=f(x)max；若 af(x)，则 amax=f(x)min，利用这一基本事实， 可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好 处，可以把原问题转化. 解法一：由于 a 的值为正数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2a2(x+y)，即 2(a21)(x+y
6、)，xyxyx，y0，x+y2，xy当且仅当 x=y 时，中有等号成立.比较、得 a 的最小值满足 a21=1，a2=2，a= (因 a0)，a 的最小值是.22解法二：设.yxxy yxxyyx yxyxyxyxu212)(2x0，y0，x+y2 (当 x=y 时“=”成立)，xy1，的最大值是 1.yxxy 2 yxxy 2从而可知，u 的最大值为，211又由已知，得 au，a 的最小值为.2解法三：y0，原不等式可化为+1a，yx1yx设=tan，(0，).yx 2tan+1a；即 tan+1asec1tan2asin+cos=sin(+)，24又sin(+)的最大值为 1(此时=).4
7、 4由式可知 a 的最小值为.2锦囊妙计 1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本 的方法. (1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、 配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式， 则考虑用判别式法证. (2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提， 充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野. 2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别 式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要
8、注意代 换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从 要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至 少” “惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法. 证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点. 歼灭难点训练 一、填空题1.()已知 x、y 是正变数，a、b 是正常数，且=1，x+y 的最小值为yb xa_. 2.()设正数 a、b、c、d 满足 a+d=b+c，且|ad|bc|，则 ad 与 bc 的大小关 系是_.3.()若 m
9、n，pq，且(pm)(pn)0，(qm)(qn)0，则 m、n、p、q 的大小顺序是_. 二、解答题4.()已知 a，b，c 为正实数，a+b+c=1.求证：(1)a2+b2+c231(2)6232323cba5.()已知 x，y，zR，且 x+y+z=1，x2+y2+z2=，证明：21x，y，z0，326.()证明下列不等式：(1)若 x，y，zR，a，b，cR+，则z22(xy+yz+zx)cbaybacxacb22(2)若 x，y，zR+，且 x+y+z=xyz，则2()zyx yxz xzy zyx1117.()已知 i，m、n 是正整数，且 1imn.(1)证明：niAmiA ；i
10、mi n(2)证明：(1+m)n(1+n)m8.()若 a0，b0，a3+b3=2，求证：a+b2，ab1.参考答案 难点磁场 证法一：(分析综合法） 欲证原式，即证 4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40，即证 4(ab)233(ab)+80，即证 ab或 ab8.41a0，b0，a+b=1，ab8 不可能成立1=a+b2，ab，从而得证.ab41证法二：(均值代换法)设 a=+t1，b=+t2.21 21a+b=1，a0，b0，t1+t2=0，|t1|，|t2|21 21.4254116254123 162541)45(41) 141)(141()21)(21() 141)(141(
11、211)21(211)21(11)1)(1(2 24 22 22 22 222 22 22 222 11212 222 1122 212 122 tttttttttttttttttttttbb aa bbaa显然当且仅当 t=0，即 a=b=时，等号成立.21证法三：(比较法）a+b=1，a0，b0，a+b2，abab41425)1)(1(04)8)(41 ( 48334 42511 425)1)(1(2222bbaaababab ababba bb aa bbaa证法四：(综合法)a+b=1， a0，b0，a+b2，ab.ab414251)1 (4116251)1 (169)1 (43 41
12、11222 abababab abab425)1)(1(bbaa即证法五：(三角代换法） a0，b0，a+b=1，故令 a=sin2，b=cos2，(0，)22.425)1)(1(425 2sin4)2sin4(41 2sin125162sin24. 3142sin4, 12sin2sin416)sin4( 2sin42cossin2cossin)cos1)(cossin1(sin)1)(1(22222222222224422 22 bbaabbaa即得 Q歼灭难点训练一、1.解析：令=cos2，=sin2，则xa ybx=asec2，y=bcsc2，x+y=asec2+bcsc2=a+b+a
13、tan2+bcot2a+b+2.abbaba2cottan22答案：a+b+2ab2.解析：由 0|ad|bc|(ad)2(bc)2(a+b)24ad(b+c)24bca+d=b+c，4ad4bc，故 adbc. 答案：adbc 3.解析：把 p、q 看成变量，则 mpn，mqn. 答案：mpqn二、4.(1)证法一：a2+b2+c2=(3a2+3b2+3c21)31 31=3a2+3b2+3c2(a+b+c)231=3a2+3b2+3c2a2b2c22ab2ac2bc31=(ab)2+(bc)2+(ca)20 a2+b2+c231 31证法二：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2a
14、c+2bca2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c23(a2+b2+c2)(a+b+c)2=1 a2+b2+c231证法三：a2+b2+c233222cbacba 3cbaa2+b2+c231证法四：设 a=+，b=+，c=+.31 31 31a+b+c=1，+=0a2+b2+c2=(+)2+(+)2+(+)231 31 31=+ (+)+2+2+231 32=+2+2+231 31a2+b2+c231629)( 323232323323,23323,21231)23(23:)2(cbacbaccbbaaa同理证法一 Q原不等式成立.证法二：3)23()23()23( 3232323cbacba336)( 3cba6232323cba33原不等式成立.5.证法一：由
