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1、第 1 页 共 31 页【知能目标知能目标】 1. 准确理解函数概念的内涵及外延, 了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系, 会求一些简单的反函数. 2. 掌握求函数值域的方法: 配方法、换元法、反解法、单调性法、判别式法、图象法等. 3. 掌握求函数解析式的方法: 待定系数法、消元法等. 4. 了解函数的单调性的概念, 掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 5. 了解奇函数、偶函数的意义. 6. 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图象和性 质. 7. 理解对数的概念, 掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 8. 能够运用指数函数
2、和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 【综合脉络综合脉络】【知识归纳知识归纳】一、函数的定义、分段函数的定义和理解一、函数的定义、分段函数的定义和理解1.函数的定义： 设 X 是一个非空集合， Y 是非空数集 ，f 是个对应法则 ， 若对X 中的每个 x，按对应法则 f，使 Y 中存在唯一的一个元素 y 与之对应 ， 就称对应学学 科：数学科：数学复习内容：函数复习内容：函数第 2 页 共 31 页法则 f 是 X 上的一个函数，记作 yf（x） ，称 X 为函数 f（x）的定义域，集合y|y=f（x） ，xR为其值域（值域是 Y 的子集） ，x 叫做自变量， y 叫做因变量，习惯上也说
3、y 是 x 的函数。2.分段函数： 分段函数是指在不同的定义上域上有不同的对应法则的函数.它是一个函数,不要误认为 是几个函数 :分段函数的定义域是各段函数定义域的并集 ,值域也是各段函数值域的并集 .二、函数的性质二、函数的性质1定义域（自然定义域、分段函数的定义域、应用题中的定义域、复合函数的定义域等） ；2值域（求值域：分拆法、图象法、单调性法、基本不等式法、换元法、判别式法等）；3奇偶性（在整个定义域内考虑）（1）定义：（2）判断方法：.定义法步骤：求出定义域并判断定义域是否关于原点对称；求； )( xf 比较或的关系；)()(xfxf与)()(xfxf与.图象法（3）常用的结论已知：
4、)()()(xgxfxH若非零函数的奇偶性相同，则在公共定义域内为偶函数；)(),(xgxf)(xH若非零函数的奇偶性相反，则在公共定义域内为奇函数；)(),(xgxf)(xH若是奇函数，且，则.)(xf定义域0(0)0f4单调性（在定义域的某一个子集内考虑）（1）定义：（2）证明函数单调性的方法：.定义法 步骤：设；作差（一般结果要分解为2121,xxAxx且)()(21xfxf若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出） ；判断正负号。.（多项式函数）用导数证明： 若在某个区间 A 内有导数，则 )(xf( )0fx 在 A 内为增函数； 在 A 内为减函数.xA)(xf( )
5、0fx xA)(xf（3）求单调区间的方法： a.定义法： b.导数法： c.图象法： d.复合函数在公共定义域上的单调性：若 f 与 g 的单调性相同，则为增函数； )(xgfy )(xgf若 f 与 g 的单调性相反，则为减函数。)(xgf注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集.（4）一些有用的结论：第 3 页 共 31 页奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数)(xf)(xg)(xf是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函)(xg)(xf)(xg)(xf)(xg数。一个重要的函数：函数在上单调)0
6、, 0(baxbaxy ,abab 或递增；在上是单调递减. abab，或 00 ,5函数的周期性（1）定义：若 T 为非零常数，对于定义域内的任一 x，使恒成立，)()(xfTxf则叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期.( )f x( )f x举例：若函数在 R 上是奇函数，且在上是增函数，且，)(xf01，)()2(xfxf则关于 对称；的周期为 ；在（1，2）是 函数)(xf)(xf)(xf（增、减） ；若（0，1）时=，则= 。x)(xfx21 2(log 18)f三、函数的图象三、函数的图象 1基本函数的图象： （1）一次函数、 （2）二次函数、 （3）反比例函数、 （4）指数函
7、数、 （5）对数函数、（6）三角函数、 （7）函数.)0, 0(baxbaxy2图象的变换（1）平移变换函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位()(0)yf xa a( )yf xxa得到的；函数的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单()(0)yf xa a( )yf xxa位得到的；函数的图象是把函数的图象沿轴向上平移个单位( )(0)yf xa a( )yf xya得到的；函数的图象是把函数的图象沿轴向下平移个单( )(0)yf xa a( )yf xya位得到的；（2）对称变换函数与函数的图象关于直线 x=0 对称；)(xfy )( xfy函数与函数的图象关于直线 y=0 对称；)(x
8、fy )(xfy函数与函数的图象关于坐标原点对称；)(xfy )( xfy如果函数对于一切都有 ，那么 的)(xfy ,Rx()f ax()f ax)(xfy 图象关于直线对称；如果函数对于一切都有ax )(xfy ,Rx，那么 的图象关于点对称。()()2f axf axb)(xfy ( , )a b函数与函数的图象关于直线对称。)(xafy)(xafyax 第 4 页 共 31 页)(xfy )(xfy )(xfy (|)yfx与关于直线对称。)(1xfy)(xfy xy （3）伸缩变换（主要在三角函数的图象变换中）举例：已知函数的图象过点（1，1） ，则的反函数的图象过点 )(xfy )
9、4(xf。四、函数的反函数四、函数的反函数1求反函数的步骤：（1）求原函数的值域 B)(xfy )(Ax（2）把看作方程，解出（注意开平方时的符号取舍） ；)(xfy )(yx（3）互换 x、y，得的反函数为.)(xfy )(1xfy)(Bx2定理：（1），即点在原函数图象上点在abfbaf)()(1( , )a b( , )b a反函数图象上；（2）原函数与反函数的图象关于直线对称.yx3有用的结论：原函数在区间上单调的，则一定存在反函数，且反)(xfy ,aa函数也单调的，且单调性相同；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。)(1xfy举例 1：，的反函数为 。23log (1)yx)0
10、( x2：设 。)0(,329)(1fxfxx。 五、函数、方程与不等式五、函数、方程与不等式1 “实系数一元二次方程有实数解”转化为“” ，02cbxax042acb你是否注意到必须；当=0 时， “方程有解”不能转化为。若原题0aa042acb中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？ 2、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布。设为方程的两个实根。21,xx)0( , 0)(axf若则；,21mxmx0)(mf当在区间内有且只有一个实根，时，),(nm。)2(0)()() 1 (nfmf第 5 页 共 31 页当在区间内有且只有两个实根时
11、， 若时),(nmqxpnxm21注意：根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。 注意端点，验证端点。 六、指数函数与对数函数六、指数函数与对数函数1指数式与对数式：0,1,0logaab R Nb aaNNb 对数的三个性质：；0N log 10alog1aa 对数恒等式：；logaNaN对数运算性质：. . log ()loglogaaaMNMNlogloglogaaaMMNN.loglogmn aanMMm2指数函数与对数函数 （1）定义和关系： （2）特征图象与性质归纳（列表）指数函数 y=ax (a0,a1)对数函数 y=log ax (a0,a1)0101特征图象定义域（
12、，+）（0，+）值域（0，+）（，+）单调性减函数增函数减函数增函数定点（0，1）（1，0）函数值分布x1；x0 时，00 时，y100；x1 时，y1 时，y0（3）有用的结论函数与（且）图象关于直线对称；函数xyalogayx0a 0a yx与（且）图象关于轴对称；函数与（xyaxya0a 1a y1logayxlogayx且）图象关于轴对称.0a 0a x 记住两个指数（对数）函数的图象如何区别？0)(0)(20nfmfnabm( )0 ( )0 ( )0 ( )0f m f n f p f q 第 6 页 共 31 页七、求导公式与法则七、求导公式与法则12(1)0 (2)()(3)(
13、sin )cos1(4)(cos )sin(5)(ln )1(6)(log)log(7)()(8)()ln(9)()(10)()(11)(12)( )nnxx aaxxuxCxnxxxxxxxxeeexaaaUVUVUU VUVUVU VUVVV yu xy U 八、导函数的运用八、导函数的运用 运用导数研究函数的最值的步骤： （1）求函数的导函数，设 y0 求出单调增区间，其补集为减区间 （2）求函数的极值及端点值 （3） 比较极值及端点值的大小，最大的为函数最大值，最小的为函数最小值。 【考点聚焦考点聚焦】 考点 1：函数的概念、表示法、定义域、值域、最值； 考点 2：函数的单调性、奇偶性
14、、周期性； 考点 3：指数函数和对数函数的定义、性质（尤其是单调性） 、图象和应用； 考点 4：反函数的定义、求反函数、函数图象的位置关系； 考点 5：抽象函数问题的求解 考点 6：运用函数的思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题 考点 7：导数的概念及运算，导数的应用. 【自我检测自我检测】 1、函数的定义是_. 2、对于函数定义域内任意x，若有则f(x)为奇函数，若有，则 f(x)为偶函数.奇函数的图象关于对称，偶函数的图象关于对称. 3、给定区间 D 上的函数f(x)，若对于任意x1,x2D，当x10y=ax2+bx+c=a(x-h)2+k =a(x-x1)(x- x2)a0 且a1)对数函数y=logax(a0 且a1)图象a10100,a1,x0),求f(x)的)1(12xxaa 表达式头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 (2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(1)|=|f(0)|=1,求f(x
