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1、第第 25 讲讲 平面向量的数量积平面向量的数量积 【考点解读考点解读】1 掌握平面向量的数量积及其几何意义；2 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件【知识扫描知识扫描】1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角.OAOB2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cos 叫与的数量积，记作 a b，即有 a b = |a|b|cos，（）.并规定0 0与任何向量的数量积为 0 3向量的数量积的几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos 的乘积4两个向量的数量积的
2、性质：设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量1ea = ae =|a|cos；2ab ab = 03当 a 与 b 同向时，ab = |a|b|；当 a 与 b 反向时，ab = |a|b|特别的 aa = |a|2或aaa |4cos = ；5|ab| |a|b|baba5 平面向量数量积的运算律交换律：a b = b a数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b)分配律：(a + b)c = ac + bc6两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，),(11yxa ),(22yxb ba2121yyxx7.平面内两点间的距离
3、公式平面内两点间的距离公式（1）设，则或),(yxa 222|yxa22|yxaC（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么a),(11yx),(22yx(平面内两点间的距离公式平面内两点间的距离公式)2 212 21)()(|yyxxa8.向量垂直的判定向量垂直的判定设，则),(11yxa ),(22yxb ba 02121yyxx9.两向量夹角的余弦（两向量夹角的余弦（） 0cos= 2 22 22 12 12121 yxyxyyxx来源:Zxxk.Com|baba 主要方法：1注意向量夹角的概念和两向量夹角的范围； 2垂直的充要条件的应用；3当角为锐角或钝角，求参数的范
4、围时注意转化的等价性；4距离，角和垂直可以转化到向量的数量积问题来解决【考计点拨考计点拨】牛刀小试：牛刀小试：1.已知，则等于(2,1),( 1, 3)ab rr|abrrA B C5 D25 57【答案】C【解析】,3,4abrr| 5.abrr2.已知向量=，=，若，则a(1, 2)b( ,2)xab|b rA B C D52 5520【答案】B【解析】因为，所以,解得,所以,选 B.ab40a bxr r4x |b r24x 2 53.如图，中，且，点满足，则ABCoC903 BCACMMABM2CBCMA. B. C. D.2346来源:Z&xx&k.Com 【答案】B 【解析】 22
5、22213.333CM CBCBBMCBCBCBBACBCBCACBCBuuu u r uu u ruu u ruuu u ruu u ruu u ruu u ruu u ruu u ruu u ruu u ruu u ruu u r4已知圆O的半径为a，A，B是其圆周上的两个三等分点，则( )OAABA.a2 Ba23 23 2C.a2 Da23232解析：选 B.结合图形易知两向量夹角为，且|a，|a，5 6OAAB3故|cos.OAABOAAB5 63a2 25三角形ABC中AP为BC边上的中线，|3，2，则|_.ABAPBCAC解析： ()()APBC1 2ABACACAB (|2|2
6、)21 2ACAB|.AC5 答案：5【典例解析典例解析】考点一：考点一： 向量数量积的概念运用向量数量积的概念运用来源来源:Z_xx_k.Com【例 1】.已知平面上三个向量、的模均为 1，它们相互之间的夹角均为 120，（1）求证：arbrcr；（2）若，求的取值范围.)(barrcr1|cbakrrr)(Rk k【命题立意】考查向量数量积的夹角、模的运用。【标准解析】垂直问题直接利用数量积为零来证明；对于模的范围我们可以先平方再解不等式得到。【误区警示】垂直的充要条件的运用，以及平方法处理模的计算问题。【标准解析】向量的夹角为钝角说明数量积小于零，同时向量不能共线方向。【技巧点拨】先利用
7、数量积小于 0，然后排出共线的情况即可。【答案】解：，42 1er12 2er121eerr 71527)72(2)()72(22 22122 12121tte teete te teee trrrrrrrr 071522tt217t设 )(722121e teeerrrr)0(14,21472722 tttt 时，与的夹角为，t214 2172ee trr21e terr 的取值范围是。t)21,214()214, 7(U要点二：向量数量积性质的运用要点二：向量数量积性质的运用【例 2】如图，在 RtABC 中，已知 BC=a，若长为 2a的线段 PQ 以点 A 为中点，问BCPQ与的夹角取
8、何值时的值最大？并求出这个最大值.CQBPACa【命题立意】考查向量数量积与向量基本定理的综合运用【 标准解析】先用已知的向量表示未知向量，然后利用已知的向量的夹角和模进行求解。【误区警示】对于抽象的向量问题，不能化未知为已知。【答案】解法一： ,ABACuuu ruuu rQ0.AB ACuuu r uuu r,APAQ BPAPAB CQAQAC uuu ruuu r uu u ruuu ruuu r uuu ruuu ruuu rQ() ()BP CQAPABAQACuu u r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu rAP AQAP ACAB AQAB ACuuu r uuu
9、 ruuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu r2aAP ACAB AP uuu r uuu ruuu r uuu r2()aAPABAC uuu ruuu ruuu r21 2aPQ BC uuu r uuu r21 2aPQ BC uuu r uuu r22cos .aa 故当，即（与方向相同）时，最大，其最大值为 0。cos10PQuuu rBCuuu rBC CQuuu r uuu r解法二：以直角顶点 A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.设，则且|ABc ACb(0,0), ( ,0),(0, ),AB cCb| 2 ,|.PQ
10、a BCa(, ),(,),BPxc y CQxyb uu u ruuu r设点的坐标为，P( , )x y则，(,)Qxy(, ),( 2 , 2 ).BCc b PQxy uuu ruuu r()()()BP CQxcxyyb uu u r uuu r22().xycxby 2cos.| |PQ BCcxby aPQBCuuu r uuu r uuu ruuu rQ2cos .cxbyaAPCQyx22cos .BP CQaa uu u r uuu r故当，即（与方向相同）时，最大，其最大值为 0。cos10PQuuu rBCuuu rBC CQuuu r uuu r【变式训练】已知： 、
11、是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）来源:Zxxk.Comabca（1）若|，且，求的坐标；c52ac/c（2）若|=且与垂直，求与的夹角.b,25ba2ba 2ab【标准解析】向量的数量积结合向量的坐标进行求解运算。【技巧点拨技巧点拨】第一问，先设出坐标，然后利用共线表示所求的坐标；第二问，直第一问，先设出坐标，然后利用共线表示所求的坐标；第二问，直接运用数量积进行求接运用数量积进行求解。解。例 3. 在平行四边形 ABCD 中，A(1，1)，AB(6，0)，点 M 是线段 AB 的中点，线段 CM 与 BD 交于 点 P(1) 若AD(3，5)，求点 C 的坐标； (2) 当|AB|
12、AD|时，求点 P 的轨迹 解：解：(1)设点 C 的坐标为(x0，y0)，)5, 1()5, 9()0, 6()5, 3(00yxDBADAC 得 x010 y06 即点 C(10，6)(2) ADAB 点 D 的轨迹为(x1)2(y1)236 (y1)M 为 AB 的中点P 分BD的比为21设 P(x，y)，由 B(7，1) 则 D(3x14，3y2)点 P 的轨迹方程为) 1(4) 1()5(22yyx变式训练 3. 在直角坐标系 x、y 中，已知点 A(0，1)和点 B(3，4)，若点 P 在AOB 的平分线上，且|2，求的坐标|OPuuu rOPuuu r解解 已知 A (0，1)，B (3，4) 设 C (0，5)， D (3，9) 则四边形 OBDC 为菱形 AOB 的角平分线是菱形 OBDC 的对角线 OD2103OCOD)5103,510( 1032ODOC
