中学数学专题研究导数

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1、1中学数学专题研究中学数学专题研究导数导数 【摘 要】新教材引入导数后对中学数学的教学产生了极大的影响，它广泛应用于众多的数学 模块中，如在解决函数的单调性、最值方面的应用等等。它们为解决数学问题开拓了新方法、新 思路，同时也使解题更加简洁方便。因此，我们在中学数学教学时应该改变传统的思路与模式， 给予这些内容以足够的重视。 【关键词】导数；概念；变化率；解题；应用。 教育部考试中心任子朝先生指出：“课程改革的一项重要内容就是更新了教学内容，增加了 简易逻辑、平面向量、概率统计、微积分等内容。新增加的内容为大纲修订和考试改革的亮 点 高中数学新教材在高三分册的最后一章中介绍了导数，主要包括导数

2、的引入，导数的概念， 求导的公式，求导的法则和导数的应用，导数的应用包括两个方面，一是求函数的极值、最值， 求函数的单调区间，证明函数的单调性；二是将导数内容和传统内容中有关不等式和函数等知识 有机的结合，包括应用题的最优化问题，增加这部分内容不仅是函数的继续，深化和拓展，同时 也使得中学数学教学内容增添了更多的变数教学，拓展了学习和研究的领域，使学生掌握一种科 学的语言和工具，学习一种理性的思维模式。 从新教材的高考来看，纵观 2000 年到 2004 年这五年全国高考新课程试卷中的有关题目，导 数的题目每年都有，题目的总体难度也不大，但题目所涉及的知识已从导数的基本内容拓展到导 数与函数，

3、不等式，解析几何等知识的综合应用。导数作为一门工具性学科，在新课程卷的高考 题目中不排除有导数与数列，三角等知识有机结合的综合应用题。中学教师应在平时的解题教学 中有意识的渗透这方面的内容，以适应新课程试卷高考的要求。下面我们就谈一谈导数的概念教 学和导数在解题中的应用。 一、导数概念的教学：一、导数概念的教学： “导数的概念”是变量变化速度在数学上的一种抽象，是微分学的一个重要的概念，它是在函 数极限的基础上发展起来的，应该讲是一个很抽象的概念，如何才能使学生从这个抽象的概念中 走出来呢？ 首先，教师应精心地的设计教学内容，多从实例导入，运用极限的定义来解决实际问题，让学 生有个感性的认识，

4、对函数的极限有了兴趣；其次，要借用多媒体等现代教学手段，让静的问题 动起来，让抽象的问题具体化、实物化；第三，让学生带着问题走进课堂，教师应该选取重要而 又实用的生活实例或在其他学科实际应用的实例，让学生进行探究性的学习，深感学习导数的重 要性，同时也培养学生深入思考问题的良好的学习习惯。只有这样学生才能真正地感受到数学的 价值和学习导数的意义。 1曲线的切线： 高二的解析几何部分曾经讨论了曲线的切线的概念，并且具体地给出了具有标准形的抛物线和 椭圆的切线方程，在这里我们进一步研究求函数曲线切线方程的一般方法。 曲线 C：上有两点 P()，Q（） ，当点 Q 沿着曲线无限接近于点( )yf x

5、00, yxyyxx00, P，即时，如果割线 PQ 有一个极限位置 PT，那么直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线。设切0x 线 PT 的倾斜角为，那么当时，割线 PQ 的斜率的极限，就是曲线在点 P 处的切线的斜率，0x 即：xxfxxf xyxx )()(tan0000limlim2.瞬时速度： 人们在日常生活中对物体运动的速度仅作常识性的了解，通常是指物体在一段时间内的运动 的平均速度，但随着科学技术的发展，仅仅知道物体的平均速度是不够的，还要知道某一时刻物 体运动的瞬时速度。例如，我们在研究子弹穿透能力的时候，需要知道子弹头接触目标的一瞬间 的速度有多大；在发射人造地球卫星时，要卫

6、星进入预定的轨道，就必须事先算好它的初速度， 即开始脱离发射场的瞬时速度。2物体运动的瞬时速度是当前时间间隔趋向于零时的平均速度的极限。设物体作非匀速直线t 运动，其运动规律是： ( )sf t当时刻从 t0变到 t,经过一段时间，物体所走过的路程为，平均0ttt)()(0tftfs速度为，00)()( tttftf ts 于是，物体在时刻 t0运动的瞬时速度为：0000)()(limlimtttftf tstt 3.导数的概念：函数,如果自变量 x 在 x0处有增量，那么函数相应的有增量( )yf xxy ，)()(00xfxxfy比值就叫做函数在 x0到之间的平均变化率，即 xy ( )y

7、f xxx0xxfxxf xy )()(00如果当时，有极限，则称函数在点 x0处可导，且把这个极限叫做在点 x0处0xxy ( )f x的导数，记作：或，)(0xf 0|xxy即xxfxxf xyxf xx )()()(00000limlima.导数的几何意义：函数在点 x0处的导数的几何意义是：曲线上过点 x0( )yf x)(0xf ( )yf x切线的斜率。 b.导数的物理意义：函数在点 t0处的导数的物理意义是运动物体在时刻 t0处的瞬时速度。( )sf tC.函数在点 x0处可导，必在此点连续；反之则不然，即：函数在一点处连续，但不一定( )yf x 可导，即 f(x)在点 x0处

8、可导的必要而不充分条件。 实际上，函数在一点处的导数，就是在该点的函数改变量与自变量的改变量之比当时0x 的极限。导数概念的教学重点是导数概念的理解，通过曲线切线的斜率与瞬时速度引出导数的概 念，从导数的定义归纳出求导数的方法。在教学中要注意加深学生对特殊到一般、运动与静止的 理解，培养学生的直觉思维中的类比能力。 为了使学生正确理解导数的定义，在进行一定练习的同时，应该让学生概括和总结根据导数 定义来求导数的一般方法。 222220031.243. 2(3)4(3)(2343) 2()16 2()16216.(216)16,|16.limlimxxxyxxx yxx xx yxxxxx yx

9、x y 例求在点处的导数 解：即：求导数方法的三个步骤：求函数的增量；求平均变化率；取极限yy x 以及函数的连续性是函数可导的必要而非充分条件。 0( )lim, xyfxx 302.,()();(4 )(5 )(2)lim. tAf axf ax x f atf at t x0例若函数y=f (x)在x=a处的导数为求：（1）l i m分析：已知函数在处的导数为 A，要求所给的极限值，必须将已给的极限式转化为导y=f (x)x=a数的定义。()( ),()()()( )( )()()( )()( )2f axf aAx f axf ax x f axf af af ax x f axf a

10、f axf a xx AAA Q x0x0x0x0x0解：（1）l i m则l i ml i ml i ml i m000000(4 )(5 )(2)lim(4 )( )( )(5 )lim(4 )( )( )(5 )4lim5lim45 (4 )( )(5 )( )4lim5lim45 45ttttttf atf at t f atf af af at t f atf af af at tt f atf af atf a tt AAA 评注：本题考查的是对导数定义的理解。 二、导数在解题中的应用二、导数在解题中的应用 1.培养学生应用导数解题的意识 导数作为工具不但为研究函数相关问题，解决函

11、数极值，单调性问题提供了有效的途径和简 便的手段，同时在解决其他的问题上也有不可替代的优越性，教师在平时的教学中应有意识地培 养学生应用导数来解决数学中的其他问题的能力。这不仅体现了新教材增加导数内容的本意，同 时也拓展了学生的解题空间，开阔了学生的视野，提高了学生的解题能力，体现了新课程的要求 和特点。 从解题的方法来看，数学的解题方法很多，大多能适合学生的思维要求，但对有些题目的思 维要求跨度较大，思维重心较高，而中学生的思维能力可能达不到这一要求，学生既想不到又掌 握不了，数学的根本在于追求简单而不是追求高难度的技巧，而利用导数解题，一方面体现了与 新教材的主动接轨，另一方面则突出了通法

12、，淡化了技巧，使学生既掌握了知识，又锻炼了思维。例 3.（2001 年高考第 21 题）已知 i,m,n 是正整数，且.1imn (1)证明：；iiii mnn Am A(2)证明：.1+m(1)nmn说明：这是一个排列组合和不等式知识综合的高考题，由于当时的教学参考书上这种题型不 多，中学老师也没有刻意去强调这方面的问题，致使得分率较低，据高考命题专家讲这是一个源4于教材又高于教材的一个好题目，只是思维要求比较高，但若能构造函数，利用导数的知识来求 解，就显得通俗易懂。证明：（1）要证明.只要证明，构造函数.iiii mnn Am Aii nm iiAA nm( )(1)i x iAf xi

13、xx 即证明函数为定义域内的增函数。( )yf x ( )( )(1).(1)ii xg xLnf xLnALnxLnxLn xLn xiiLnx 设求函数的导数( )g x1111( ).011iig xnxxxixxx 可得，函数为定义域内的增函数，( )0g x( )g x即证明函数为定义域内的增函数，所以当时，有( )yf x1nmi ii nm iiAA nm即得：.iiii mnn Am A（2）要证明(1)(1)1+m(1)(1)(1)nmLnmLnnnnLnmmLnnmn构造函数，(1)( )(2)Lnxf xxx求函数的导数，由于有1,( )yf x2(1)1( )xLnxx

14、fxx2,x 1x x(1)Lnx所以，得为减函数，当时，有( )0fx(1)( )(2)Lnxf xxx1nmi ，即证得：.(1)(1)LnmLnn mn1+m(1)nmn例 4. 某人在海上以打渔为生，他在海上 A 地捕鱼，A 地（如下图）离海岸最近点 B 的距离为 6km，点 B 离他家 C 点 10km，如果他划船的速度为 3km/h,在海岸线 BC 上的步行速度为 6km/h，一 天回家有事，为了尽快到家，他应在海岸线 BC 上离他家多远的 D 点着陆？并求出所用的最少时间。BDCA说明：这是近期发表在数学通报中的一个实际问题， ，如果用导数解决这一问题，就显得轻松、 自然、合理。

15、解：（方法 1）如图，可设 BD = x, 得 AD =，DC =10 x362x由 A 经 D 到 C 所用的时间为：5y = = = ( 0 0,求函数的单调区间.（2003 年高考题）), 0()()(xaxLnxxf解：.因为 a0,x0,所以有以下结论：)0(121)()(xaxxxfxf得由0)42(0)(0)42(0)(2222axaxxfaxaxxf又由于二次函数的判别式为.所以：22)42()(axaxxg) 1(164)42(22aaa（1）当 a1 时，对所有的 x0，有，即，此时在上单0)42(22axax0)( xf)(xf), 0( 调递增；（2）当 a=1 时，对.有，即，此时在（0，1）上单调递1x0)42(22axax0)( xf)(xf增，在上单调递增，又知在 处连续，所以当时，在上单), 1 ( )(xf1