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1、1中学代数研究论文中学代数研究论文学院：数学与计算机科学学院班级：2010 级数本(3)班姓名：叶晨嘉、陈丽真学号：105012010116、105012010085题目：数的研究之整除性质 日期：2012 年 5 月 16 日2摘要：摘要：（1） 、我们将探究、归纳能被 2 至 11 等自然数整除的数具有的特征。（2） 、对于一个整数，我们通过（1）的学习知道了如何判断一个整数是谁的倍数，那如何较快求出一个范围内不能同时整除于多个自然数的数的个数是我们探究的第二模块。关键词：关键词：数、整除、多个不能同时整除的数、容斥原理正文：正文：一：能被一：能被 2 至至 11 等自然数整除的数具有的特
2、征。等自然数整除的数具有的特征。、判断一个数是否能被 2 整除，只要末尾数是偶数就可以被 2 整除证明：设，因为 10 能n n1 -n 1 -n2 32110a10a.10a10aap被 2 整除，所以能被 2 整除，因此只要10a10a.10a10an1 -n 1 -n2 32看个位数的是否被 2 整除。而偶数可以被 2 整除。1a、判断一个数是否能被 3 整除，只要各个数位的数字加起来的数能被 3 整除。证明：设 10a10a.10a10aan n1 -n 1 -n2 321p1)1-10(a) 1110(a.) 1333(a1)33(aan n1 -n 1 -n321p而能被 3 整除
3、，因 1)-10(a) 110(a.)333(a3)3(an n1 -n 1 -n32此只要能被 3 整除就可以判断该数是否能被 3 aa.aaan1 -n321d除、判断一个数是否能被 4 整除，只要个位数的跟十位数的数合起来的数能被 4 整除就可以了证明：设 10a10a.10a10aan n1 -n 1 -n2 321p因为，能被 4 整除，25410010010a10010a.100a2-n n3-n 1 -n3因此只要判断能否被 4 整除即可判断此数能否被 4 整除10aa21、判断一个数是否能被 5 整除，只要其个位数为 0 或者 53证明：设 10a10a.10a10aan n1
4、 -n 1 -n2 321p能被 5 整除，若为 0，则，则数即n n1 -n 1 -n2 3210a10a.10a10a1a为，因此能被 5 整除，为 5，5 能被n n1 -n 1 -n2 3210a10a.10a10a1a5 整除，所以此数能被 5 整除、判断一个数是否能被 6 证明整除，只要此数能被 2、3 整除证明：6=23，所以只要能被 2 和 3 整除的数一定能被 6 整除。、判断一个数能否被 7 整除，有两种方法： 割尾法： 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去原先个位数的 2 倍，如果差是 7 的倍数，则原数能被 7 整除。如果差太大或心算不易看出是否 7 的倍数，
5、就需要继续上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断 133 是否 7 的倍数的过程如下：13327，所以 133 是 7 的倍数；又例如判断 6139 是否 7 的倍数的过程如下：61392595 ， 595249，所以 6139 是 7 的倍数，余类推。 割尾法： 证明过程： 设10a10a.10a10aan n1 -n 1 -n2 321p1 -n n2-n 1 -n32110a10a.10aa-2aq)10a.10a21(aq21 -n n32p又因为 21=73，所以若 p 是 7 的倍数,那么可以得到 q 是 7 的倍数 末三法： 这个数的末三位数与末三位以前
6、的数字所组成的数之差（反过来也行）能被 7、11、13 整除。这个数就能被 7、11、13 整除。 例如：1005928 末三位数：928，末三位之前：1005 1005-928=77 因为 7 | 77，所以 7|1005928 末三法，简略证明： 设一个数为 ABCDEF=ABC1000+DEF=ABC1001-ABC+DEF=ABC71311-(ABC-DEF),由此可见只要 ABC-DEF 能被 7 整除，则 ABCDEF 能被 7 整除。4、判断一个数能否被 8 整除，只要其个位数的数，十位数的数，百位数上的 数合起来的数能被 8 整除，次数就能被 8 整证明：设 10a10a.10
7、a10aan n1 -n 1 -n2 321p1000=8125，所以能被 8 整除33-n n34-n 1 -n3 41010a1010a.10a因此只要能被 8 整除，此数即可以被 8 整除2 32110a10aa、判断一个数能被 9 整除（九去法）证明：设 10a10a.10a10aan n1 -n 1 -n2 321p) 1110(a) 1110(a.) 1110(a1)1-10(aan n1 -n 1 -n2 321p而能被 9 整除， 1)-10(a) 110(a.) 1-001 (a) 110(an n1 -n 1 -n32因此只要能被 9 整除，此数就能被 9 整除 aa.aa
8、an1 -n321d、判断一个数能被 10 整除，只要个位数为 0证明：设 10a10a.10a10aan n1 -n 1 -n2 321p，d 能被 10 整除，只要=0，n n1 -n 1 -n2 3210a10a.10a10ad1a此数即可以被 10 整除、考虑一个数与11相乘令 x=abcde*11 分析 x 的特征abcde* 11 .(1)= abcdeabcde=a(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)e5若各位相加都没进位 则奇数位和-偶数位和=0若只有 d+e 有进位 a(a+b)(b+c)(c+d+1)(d+e-10)e很明显此时 奇数位和-偶数位和=11若只有 c+d
9、有进位 a(a+b)(b+c+1)(c+d-10)(d+e)e很明显此时 奇数位和-偶数位和=-11继续推下去可知 对于1式的乘法，当奇数位有进位而与他相邻的高位没有进位时 此时 奇数位和-偶数位和=-11当偶数位有进位而与他相邻的高位没有进位时 此时 乘积结果的奇数位和-偶数位和=11若奇数位和偶数数都有进位，那么所得乘积结果的奇数位和-偶数位和(各位数字相加)就取决于是奇数位和(乘法相加时)进位的多还是偶数位和进位的多也就是说能被11整除的数总有这么一个特征，他的奇数位和-偶数位和(各位数字相加)是11或-11的正整数倍，或者是0，也就是能被11整除反过来，1个具备这样特征的数(目标数)是
10、否一定能被11整除，下面给予证明 要通过一个目标数找到原数(目标数/11)假设目标数为 abcde 若奇数位和-偶数位和(各位数字相加)是11或-11的正整数倍或0比较原数的某位与目标数的邻高位 很明显原数的最低位一定是目标数的最低位比如 9856 ， 原数一定是*6 先比较5和6对于最低位，若次低位(目标数)最低位(原数)则可知原数次低位是目标数次低位-最低位(原数)若次低位最低位6则可知原数次低位是目标数次低位+10-最低位(原数)然后比较原数的次次低位与目标数次低位这样依次下去，就会找到原数也就是说满足这样一个条件的数，经过一定步骤的运算，就能找到它被11除的数因此，奇位上的数字与偶位上
11、的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0)就可以推出这个数能被11整除.二、如何较快求出一个范围内不能同时整除于多个自然数的数的个数二、如何较快求出一个范围内不能同时整除于多个自然数的数的个数1-1000 中不能被 5，也不能被 6 及 8 整除的整数的个数。解：我们用记号 LCM表示 n 个整数的最小公倍数。naaa,21Lnaaa,21L令 S 表示 1 到 1000 这几个自然数都组成的几何。性质为“一个整数可以被 51P整除”这一性质，表示“一个整数可被 6 整除”这一性质，表示“一个整2P3P数可被 8 整除”这一性质。(i=1,2,3) 为 S 中具有性质的整
12、数所称之子集合。iAiP,200510001 A,166610002 A由于 LCM5,6=30，故,3330100021 AA于是，由容斥原理知道，S 中既不能被 5 整除，又不能被 6 整除的数的个数为=21AA S1A2A21AA =1000200166337=667容斥原理：设 S 是一个有限集合，及为两个不同的性质。S 中每个元素1P2P可能同时具有性质及，也可能只有此二性质之一，也可能即不具有性质1P2P，也不具有性质。问题是要求出 S 中不具有性质，也不具有性质的1P2P1P2P那种元素的个数。设为 S 中具有性质的元素组成之子集合，为 S 中具有性质的元素组1A1P2A2P成之
13、子集合。由定义，就是既无性质，又无性质的元素组成的子 21AA 1P2P集合，问题是怎样求。21AA 我们可以从中分别去掉具有性质的元素个数及具有性质的元素的个S1P1A2P数，但这样一来，S 中同时有性质及的那种元素就被计算了两次，因2A1P2P此还要补上 S 中同时具有性质及的元素个数,1P2P21AA 这就给出公式=21AA S1A2A21AA 当集合 A 是一个有限集时，表示 A 中元素的个数Ax表示不超过 x 的最大整数三、总结三、总结我们小组进行的此次“数的研究整除的特征”在中学教学中起到重要的作用，特别在进行因式分解，可以快速找出其因子，可以提高做题速度。容斥原理，从逆向思维进行解题，跟集合，排列组合都有所联系。8此文章参考文献：素数的奥秘第三章与初等数论 陈景润著 第十五章
