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1、不等式证明策略 二、4.(1)证法一:a2+b2+c2=(3a2+3b2+3c21)31 31=3a2+3b2+3c2(a+b+c)231=3a2+3b2+3c2a2b2c22ab2ac2bc31=(ab)2+(bc)2+(ca)20 a2+b2+c231 31证法二:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bca2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c23(a2+b2+c2)(a+b+c)2=1 a2+b2+c231证法三:a2+b2+c233222cbacba 3cbaa2+b2+c231证法四:设 a=+,b=+,c=+.31 31 31a+b+c=1,+=0a2+
2、b2+c2=(+)2+(+)2+(+)231 31 31=+ (+)+2+2+231 32=+2+2+231 31a2+b2+c231629)( 323232323323,23323,21231)23(23:)2(cbacbaccbbaaa同理证法一 Q原不等式成立.证法二:3)23()23()23( 3232323cbacba336)( 3cba6232323cba33原不等式成立.5.证法一:由 x+y+z=1,x2+y2+z2=,得 x2+y2+(1xy)2=,整理成关于 y 的一元二次方程得:21 212y22(1x)y+2x22x+=0,yR,故 0214(1x)242(2x22x+
3、)0,得 0x,x0,21 32 32同理可得 y,z0,32证法二:设 x=+x,y=+y,z=+z,则 x+y+z=0,31 31 31于是=(+x)2+(+y)2+(+z)221 31 31 31=+x2+y2+z2+ (x+y+z)31 32=+x2+y2+z2+x2+=+x231 31 2)(2zy 31 23故 x2,x, ,x0, ,同理 y,z0,91 31 31 32 32证法三:设 x、y、z 三数中若有负数,不妨设 x0,则 x20,=x2+y2+z2x2+21,矛盾.21 23 2)1 ( 2)(2222 xxxxzy 21x、y、z 三数中若有最大者大于,不妨设 x,
4、则=x2+y2+z2x2+=x2+=x2x+32 32 21 2)(2zy 2)1 (2x 23 21=x(x)+;矛盾.23 32 21 21故 x、y、z0,320)()()()()()(222)(4)(2)()(2)()()()(2)(:)2()(20)()()()2()2()2()(22:) 1.(62222222222223333332222222222222222222222222222222222yxzxzyzyxyxxyxzzxzyyzxyzzxyyzxxyyxzxxzyzzyxyzzxyyzxxzzyyxxyyxzxxzyzzyzyxzxyzxyyxxyxzzxzyyzxyz
5、zxyzxyzyx yxz xzyzyxzxyzxyzcbaybacxacbxaczcazcbybcybaxabzxxaczcayzzcbybcxyybaxabzxyzxyzcbaybacxcb所证不等式等介于证明证明 Q上式显然成立,原不等式得证.平面向量 解三角形14 答案 C(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心)解析,0OAOBOCOABCNANBNCOABC由知为的外心;由知,为的重心00,.PA PBPB PCPAPCPBCA PBCAPBAPBCPCQ,同理,为ABC 的垂心,选10.解 (1)1cos( )2sincos sinsin2f xxxxsinsincos
6、cos sinsinxxxx sincoscos sinxx sin()x因为函数 f(x)在x处取最小值,所以sin()1 ,由诱导公式知sin1,因为0,所以2.所以( )sin()cos2f xxx (2)因为23)(Af,所以3cos2A ,因为角 A 为ABC 的内角,所以6A.又因为,2, 1ba所以由正弦定理,得sinsinab AB,也就是sin12sin222bABa,因为ba,所以4B或43B.当4B时,7 6412C;当43B时,3 6412C.2008 湖南解 (I)如图,AB=402,AC=1013,26,sin.26BAC由于090oo,所以 cos=2265 26
7、1().2626由余弦定理得 BC=. 510cos222ACABACAB所以船的行驶速度为10 515 52 3(海里/小时).(II)解法一 如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐 标系,设点 B、C 的坐标分别是 B(x1,y2), C(x1,y2),BC 与 x 轴的交点为 D.由题设有,x1=y1= 2 2AB=40,x2=ACcos10 13cos(45)30CADo,y2=ACsin10 13sin(45)20.CADo所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k=20210,直线 l 的方程为 y=2x-40.又点 E(0,-55)到直线 l 的距离 d=|05540|3 57.1
8、4所以船会进入警戒水域.解法二 如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q.在ABC 中,由余弦定理得,222 cos2ABBCACABCAB BC=222402105 1013 240 210 5 =3 10 10.从而2910sin1cos1.1010ABCABC在ABQ中,由正弦定理得,AQ=1040 2sin1040.sin(45)22 10 210ABABC ABCo由于 AE=5540=AQ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 QE=AE-AQ=15.过点 E 作 EPBC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离.在 RtQPE中,PE=QEsins
9、insin(45)PQEQEAQCQEABCo=5153 57.5数列本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想,考查综合分析问题的能力和推理认证能力, (满分 14 分)()证明:假设存在一个实数 ,使an是等比数列,则有 a22=a1a3,即, 094949494)494()332(222矛盾.所以an不是等比数列.()解:因为 bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(32an-2n+14)=32(-1)n(an-3n+21)=-32bn又 b1x-(+18),所以当 18,bn=0(nN+),此时bn不是等比数列:当 18 时,
10、b1=(+18) 0,由上可知 bn0,321na bb(nN+).故当 -18 时,数列bn是以(18)为首项,32为公比的等比数列.()由()知,当 =-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.-18,故知 bn= -(+18)(32)n-1,于是可得Sn=-.321 )18(53 n)( 要使 a3a 存在实数 ,使得对任意正整数 n,都有 aSn2.龙岩一中解()2n 时,2 21311|2aa aa,由已知122,6aa,得3|362| 1a,因为3a为正整数,所以318a ,同理544a2 分()由()可猜想:12 3nna。3 分证明:1,2n 时,命题成立;假设当1 kn与n
11、k时成立,即12 3kka,2 12 3kka 。4 分于是2 1111|2kkkkaaaa,整理得:21 11|2k k kaaa ,5 分由归纳假设得:11111|2 3|2 32 3222kkk kkaa,6 分因为1ka为正整数,所以12 3kka,即当1nk时命题仍成立。综上:由知知对于*nN ,有12 3nna成立7 分()证明:由 222212321333nnnT L 得 222221212(1) 33333nnnnnTL 式减式得 22143521133333nnnnnT L 9 分22114132321 933333nnnnnnnTL 式减式得222118222(1)1933
12、333nnnnnnT L11 分2222211111111(1)(1)312(1)121333333313nnnnnnnnnn L22111(1)1 3333nnnnn 212(36)223nnn13 分则 9 4nT 14 分广东卷解(1) 113faQ, 1 3x f x 1113afcc , 221afcfc2 9 , 323227afcfc .又数列 na成等比数列,2 2 1 34 2181 233 27aaca ,所以 1c ;又公比211 3aqa,所以12 1123 33nnna *nN ;1111nnnnnnnnSSSSSSSSQ 2n 又0nb ,0nS , 11nnSS;
13、数列 nS构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,111nSnn , 2 nSn当2n , 22 1121nnnbSSnnn ;21nbn(*nN);(2)1 22 33 411111n nnTbbb bb bb bL1111 1 33 55 7(21)21nnK111 111 111111232 352 572 2121nnK 11122121n nn;由1000 212009nnTn得1000 9n ,满足1000 2009nT 的最小正整数为 112.江西省崇仁一中 2009 届高三第四次月考 答案 B全国卷 文 解:()将抛物线2:E yx代入圆222:(4)(0)Mxyrr的方程,消去2y,整理得227160xxr抛物线2:E