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1、不等式证明策略 二、4.(1)证法一：a2+b2+c2=(3a2+3b2+3c21)31 31=3a2+3b2+3c2(a+b+c)231=3a2+3b2+3c2a2b2c22ab2ac2bc31=(ab)2+(bc)2+(ca)20 a2+b2+c231 31证法二：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bca2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c23(a2+b2+c2)(a+b+c)2=1 a2+b2+c231证法三：a2+b2+c233222cbacba 3cbaa2+b2+c231证法四：设 a=+，b=+，c=+.31 31 31a+b+c=1，+=0a2+
2、b2+c2=(+)2+(+)2+(+)231 31 31=+ (+)+2+2+231 32=+2+2+231 31a2+b2+c231629)( 323232323323,23323,21231)23(23:)2(cbacbaccbbaaa同理证法一 Q原不等式成立.证法二：3)23()23()23( 3232323cbacba336)( 3cba6232323cba33原不等式成立.5.证法一：由 x+y+z=1，x2+y2+z2=，得 x2+y2+(1xy)2=，整理成关于 y 的一元二次方程得：21 212y22(1x)y+2x22x+=0，yR，故 0214(1x)242(2x22x+
3、)0，得 0x，x0，21 32 32同理可得 y，z0，32证法二：设 x=+x，y=+y，z=+z，则 x+y+z=0，31 31 31于是=(+x)2+(+y)2+(+z)221 31 31 31=+x2+y2+z2+ (x+y+z)31 32=+x2+y2+z2+x2+=+x231 31 2)(2zy 31 23故 x2，x， ，x0， ，同理 y，z0，91 31 31 32 32证法三：设 x、y、z 三数中若有负数，不妨设 x0，则 x20，=x2+y2+z2x2+21，矛盾.21 23 2)1 ( 2)(2222 xxxxzy 21x、y、z 三数中若有最大者大于，不妨设 x，
4、则=x2+y2+z2x2+=x2+=x2x+32 32 21 2)(2zy 2)1 (2x 23 21=x(x)+；矛盾.23 32 21 21故 x、y、z0，320)()()()()()(222)(4)(2)()(2)()()()(2)(:)2()(20)()()()2()2()2()(22:) 1.(62222222222223333332222222222222222222222222222222222yxzxzyzyxyxxyxzzxzyyzxyzzxyyzxxyyxzxxzyzzyxyzzxyyzxxzzyyxxyyxzxxzyzzyzyxzxyzxyyxxyxzzxzyyzxyz
5、zxyzxyzyx yxz xzyzyxzxyzxyzcbaybacxacbxaczcazcbybcybaxabzxxaczcayzzcbybcxyybaxabzxyzxyzcbaybacxcb所证不等式等介于证明证明 Q上式显然成立，原不等式得证.平面向量 解三角形14 答案 C（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）解析,0OAOBOCOABCNANBNCOABC由知为的外心；由知，为的重心00,.PA PBPB PCPAPCPBCA PBCAPBAPBCPCQ，同理，为ABC 的垂心，选10.解 （1）1cos( )2sincos sinsin2f xxxxsinsincos
6、cos sinsinxxxx sincoscos sinxx sin()x因为函数 f(x)在x处取最小值，所以sin()1 ,由诱导公式知sin1,因为0,所以2.所以( )sin()cos2f xxx （2）因为23)(Af,所以3cos2A ,因为角 A 为ABC 的内角,所以6A.又因为,2, 1ba所以由正弦定理,得sinsinab AB,也就是sin12sin222bABa,因为ba,所以4B或43B.当4B时,7 6412C;当43B时,3 6412C.2008 湖南解 （I）如图，AB=402，AC=1013，26,sin.26BAC由于090oo,所以 cos=2265 26
7、1().2626由余弦定理得 BC=. 510cos222ACABACAB所以船的行驶速度为10 515 52 3（海里/小时）.（II）解法一 如图所示，以 A 为原点建立平面直角坐 标系，设点 B、C 的坐标分别是 B（x1，y2）, C（x1，y2）,BC 与 x 轴的交点为 D.由题设有，x1=y1= 2 2AB=40,x2=ACcos10 13cos(45)30CADo,y2=ACsin10 13sin(45)20.CADo所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k=20210,直线 l 的方程为 y=2x-40.又点 E（0，-55）到直线 l 的距离 d=|05540|3 57.1
8、4所以船会进入警戒水域.解法二 如图所示，设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q.在ABC 中，由余弦定理得，222 cos2ABBCACABCAB BC=222402105 1013 240 210 5 =3 10 10.从而2910sin1cos1.1010ABCABC在ABQ中，由正弦定理得，AQ=1040 2sin1040.sin(45)22 10 210ABABC ABCo由于 AE=5540=AQ，所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间，且 QE=AE-AQ=15.过点 E 作 EPBC 于点 P，则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离.在 RtQPE中，PE=QEsins
9、insin(45)PQEQEAQCQEABCo=5153 57.5数列本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力， （满分 14 分）（）证明：假设存在一个实数 ，使an是等比数列，则有 a22=a1a3,即, 094949494)494()332(222矛盾.所以an不是等比数列.()解：因为 bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(32an-2n+14)=32(-1)n（an-3n+21）=-32bn又 b1x-(+18),所以当 18，bn=0(nN+),此时bn不是等比数列：当 18 时，
10、b1=(+18) 0,由上可知 bn0，321na bb(nN+).故当 -18 时，数列bn是以（18）为首项，32为公比的等比数列.()由（）知，当 =-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.-18，故知 bn= -（+18）（32）n-1，于是可得Sn=-.321 )18(53 n）（ 要使 a3a 存在实数 ，使得对任意正整数 n,都有 aSn2.龙岩一中解（）2n 时，2 21311|2aa aa，由已知122,6aa，得3|362| 1a，因为3a为正整数，所以318a ，同理544a2 分（）由（）可猜想：12 3nna。3 分证明：1,2n 时，命题成立；假设当1 kn与n
11、k时成立，即12 3kka，2 12 3kka 。4 分于是2 1111|2kkkkaaaa，整理得：21 11|2k k kaaa ，5 分由归纳假设得：11111|2 3|2 32 3222kkk kkaa，6 分因为1ka为正整数，所以12 3kka，即当1nk时命题仍成立。综上：由知知对于*nN ，有12 3nna成立7 分()证明：由 222212321333nnnT L 得 222221212(1) 33333nnnnnTL 式减式得 22143521133333nnnnnT L 9 分22114132321 933333nnnnnnnTL 式减式得222118222(1)1933
12、333nnnnnnT L11 分2222211111111(1)(1)312(1)121333333313nnnnnnnnnn L22111(1)1 3333nnnnn 212(36)223nnn13 分则 9 4nT 14 分广东卷解（1） 113faQ, 1 3x f x 1113afcc , 221afcfc2 9 , 323227afcfc .又数列 na成等比数列，2 2 1 34 2181 233 27aaca ，所以 1c ；又公比211 3aqa，所以12 1123 33nnna *nN ；1111nnnnnnnnSSSSSSSSQ 2n 又0nb ,0nS , 11nnSS；
13、数列 nS构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列，111nSnn ， 2 nSn当2n ， 22 1121nnnbSSnnn ；21nbn(*nN)；（2）1 22 33 411111n nnTbbb bb bb bL1111 1 33 55 7(21)21nnK111 111 111111232 352 572 2121nnK 11122121n nn；由1000 212009nnTn得1000 9n ，满足1000 2009nT 的最小正整数为 112.江西省崇仁一中 2009 届高三第四次月考 答案 B全国卷 文 解：（）将抛物线2:E yx代入圆222:(4)(0)Mxyrr的方程，消去2y，整理得227160xxr抛物线2:E
