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1、1第一章第一章 有理数有理数1.2 有理数有理数1.2.11.2.1 有理数有理数1.有理数的两种分类(1)按数域(或范围)分类:(2)按正负分类:2.非负数及非正数的概念非负数及非正数的概念(1)非负数非负数:正数和 0(或不是负数的数)叫做非负数.(2)非正数非正数:负数和 0(或不是正数的数)叫做非正数.1.2.2 数轴1.数轴的定义:在数学中,可以用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴数轴.2.数轴的三要素: 原点、正方向、单位长度原点、正方向、单位长度.-1-2-3-412341 O1.2.3 相反数相反数1.相反数的相反数的定义(有两种定义方法):(1)只有符号不同的的两个数叫做
2、互为相反数.举例,2 和 2(2)绝对值相等,符号相反的两个数叫做互为相反数. 举例, |3| | 3| 2.相反数的两个特点:2(1)互为相反数的两个数的和等于互为相反数的两个数的和等于 0.如,2+(2)=0用公式表示:若若 a 和和 b 互为相反数互为相反数,则则 a+b=0.(2)互为相反数的两个互为相反数的两个非零非零数的商等于数的商等于1. 如,313 用公式表示:若若非零非零数数 a 和和 b 互为相反数互为相反数, .1(0,0)aabb 则典型考点典型考点: 若两个非零数 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数。求的值。aabcdb1.2.4 绝对值绝对值1.绝对值的绝对值的定
3、义(有两种定义方法):(1)几何定义:数轴上表示数数轴上表示数 a 的点到原点的距离的点到原点的距离叫做数叫做数 a 的绝对值的绝对值.记作|a|.在几何定义里, “绝对值”即“|a|”应理解为“距离” 或“长度”.如, “|10|”的意义是在数轴上表示在数轴上表示 10 的点到原点的距离的点到原点的距离;又如“|7|”的意义是在数轴上表示在数轴上表示7 的点到原点的距离的点到原点的距离.(2)代数定义: 一个正数的绝对值等于它本身一个正数的绝对值等于它本身.如, |10|=10公式: 如果如果 a0,那么那么|a|=a. 0 的绝对值等于的绝对值等于 0(或它本身或它本身). 如, |0|=
4、0公式: 如果如果 a=0,那么那么|a|=0.一个负数的绝对值等于它的相反数.如, |7|=7公式: 如果如果 a0,那么那么|a|=a.通过绝对值的代数定义代数定义,可归纳出下面的结论: |a|= a.|a|=a. a0 a0|a|= a. a 0|a|=0. a=0|a|=a. a 0典型考点：当 a 时, =a;当 a 时, =a;aa3已知 |x5| = x5，则 x 的取值范围是 ； 已知 |a3| = 3 a ，则 a 的取值范围是 2.绝对值的非负性绝对值的非负性 在代数定义里, “绝对值”即“|a|”应理解为“一个数”,并且这个“数”不可能是负数. 或说这个 “数”是非负数,
5、即 |a|0. 重要结论：若多个非负数的和为若多个非负数的和为 0 0，则每个非负数均为，则每个非负数均为 0.0. 典型考点典型考点: 若|x+2|+|y3|=0，则 2x2y+1= 已知与互为相反数则 a+b= .2a2b3.有理数的大小比较 (1)正数正数大于大于负数负数,0 大于大于负数负数.自己举例说明: (2)两个负数两个负数,绝对值大的绝对值大的反而小反而小. 自己举例说明: (3)在数轴上在数轴上,右边的数总是右边的数总是大于大于左边的数左边的数. 1.3 有理数的加减法 1.3.1 有理数的加法 1.有理数的加法法则: (1)(1)同号的两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
6、同号的两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. (2)(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较 小的绝对值小的绝对值. . (3)(3)互为相反数的两个数相加得零互为相反数的两个数相加得零. . 运用法则填表: 加法题目加法题目两个数的特点两个数的特点和的符号和的符号绝对值的和或差绝对值的和或差结果结果(和和) (3)+ (9)同号(都“”)3+9=1212 5+6同号(都“”)5+6=1111 4+(6)异号64=22 (4)+ 4互为相反数0 0+(6)有一个加数为 0此步
7、骤省略 6 2.有理数加法的两个运算规律:(1) 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变公式公式: :a+b=b+a(2) 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变， 公式公式: :（a+b）+c=a+（b+c） 注注:要恰当地运用结合律,否则就越用越繁. 1.3.2 有理数的减法有理数的减法 有理数的减法的法则: 减去一个数减去一个数,等于加上这个数的相反数等于加上这个数的相反数.公式公式:()abab 注注:减去一个负数时一定要转化为加
8、法后再进行计算.如, 4(6)=4+6=111.4 有理数的乘除法有理数的乘除法 1.4.1 有理数的乘法有理数的乘法 1.有理数乘法法则: (1) 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. . (2) 任何数与任何数与 0 0 相乘，都得相乘，都得 0.0. 运用法则填表4乘法题目乘法题目两个数的特点两个数的特点积的符号积的符号绝对值的积绝对值的积结果结果(积积)(3)(9)同号(都“”)39=272756同号(都“”)56=30304(6)异号64=24240(6)有一个因数为 0002012有一个因数为 0此步骤省略 02.有理数的倒数:
9、(1)定义:乘积为乘积为 1 的两个数的两个数叫做互为倒数.如,3=1,就说 3 和互为倒数.1 31 3又如,因为 ()()=1, 所以和互为倒数.1 221 22显然: 0 没有倒数没有倒数. 填表:原数1102 32 3551120.5倒数相反数绝对值(2)互为倒数的两个数的特点: 互为倒数的两个数的积为互为倒数的两个数的积为 1.1 和和1 的倒数等于它本身的倒数等于它本身. 0 没有倒数没有倒数.互为倒数的两个数的符号相同互为倒数的两个数的符号相同. (3)乘法的三个运算律乘法的三个运算律: 乘法交换律: 乘法结合律: 分配律: 1.4.2 有理数的除法有理数的除法 1. 有理数除法
10、的运算法则:除以一个不等于除以一个不等于 0 的数的数,等于乘以这个数的倒数等于乘以这个数的倒数.公式公式: 1(0)ababb2. 有理数除法的符号法则: (1)两个数相除两个数相除,同号得正同号得正,异号得负异号得负,并把绝对值相除并把绝对值相除. (1)0 除以一个不等于除以一个不等于 0 的数的数,都得都得 0. 运用法则填表 除法题目除法题目两个数的特点两个数的特点商的符号商的符号改为乘法改为乘法结果结果(商商)5(9)(3)同号(都“”)19339015同号(都“”)19015390(15)异号1901530(6)被除数为 0002012被除数为 0此步骤省略0练习练习:用“”或“
11、”或“”填空:(1)如果 a0,b0,则 ab 0, 0.a b(2) 如果 a0,b0,则 ab 0, 0.a b(3) 如果 a0,b0,则 ab 0, 0.a b(4) 如果 a=0,b0,则 ab 0, 0.a b1.5 有理数的乘方有理数的乘方 1.5.1 乘方乘方1.乘方的定义: 一般地，n 个相同的因数 a 相乘，即 aaa，记作 an，读作 a 的 n 次方求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方乘方，乘方的结果叫做幂幂在 an中，a 叫做底数底数，n叫做指数指数，当 an看作 a 的 n 次方的结果时，也可读作 a 的 n 次幂说明：（1）一个数可以看作是这个数本身的一次方，通
12、常省略指数 1 不写；如, 188（2）因为 an就是 n 个 a 相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算；如, 322 2 28 （3）乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果2. 根据有理数的乘法法则得出有理数乘方的符号规律：(1)(1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；注意：当 n 为正奇数时: (-a)n=-an和和(a-b)n=-(b-a)n , 当 n 为正偶数时: (-a)n =an 和和(a-b)n=(b-a)n .(2)(2)正数的任何次幂都是正数正数的任何次幂都是正数; ;(3)0(3)0 的任何次幂都是的任何次幂都
13、是 0 0填表6乘方乘方读法读法底数底数指数指数幂幂( (或结合或结合) )备注备注2( 3)负 3 的平方329233 的平方的相反数32922()322( )322 3负倍 2 的平方1 32012( 1)2013( 1)20121201312( 1)nn 为正整数21( 1)n同上0n同上由填表发现:(1)0 的任何次方都都等于 0.即00(nn为任何数)(2)的偶次方等于 1, 即;12( 1)1(nn为正整数)的奇次方等于, 即.1121( 1)1(nn 为正整数)(3) 和的读法不同,结果也不同.2( 3)23、和的读法不同,结果也不同.22()322( )322 33偶次方的非负
14、性:任何数的偶次方都是非负数任何数的偶次方都是非负数. .即20()nan为正整数典型考点典型考点: (重要结论：若多个非负数的和为若多个非负数的和为 0 0，则每个非负数均为，则每个非负数均为 0.)0.)1.1. 已知,则= .2. 已知,则= .22(3)(2)0abba2|2| (3)0ababb4有理数混合运算顺序7（1 1）先乘方，再乘除，最后加减；）先乘方，再乘除，最后加减；（2 2）同级运算，从左到右进行；）同级运算，从左到右进行；（3 3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行1.5.21.5
15、.2 科学计数法科学计数法 1.5.31.5.3 近似数近似数1.1.科学计数法的定义科学计数法的定义: :一般地，10 的n次幂，在 1 的后面有n个 0，这样就可用 10 的幂表示一些大数，如，6 100 000 0006.11 000 000 0006.1.910象上面这样把一个大于把一个大于 1010 的数记成的数记成a a的形式，其中的形式，其中a a 是整数数位只有一位的数，是整数数位只有一位的数，n10这种记数法叫做科学记数法这种记数法叫做科学记数法. .其中 1a10 的数，n的值等于整数部分的位数减 1.2.2.用科学记数法表示一个数时应注意：(1)(1)首先要确定这个数的整数部分的位数首先要确定这个数的整数部分的位数. .或说先找到这个数的小数点位置或说先找到这个数的小数点位置; ;(2)(2)将这个数的小数点移到第一个不为将这个数的小数点移到第一个不为 0 0 的
