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1、1HQPNMEDK CBAPAPB=PCPDPAPB=PCPDADB=ACBD=CBE 或D+ABC=1800PPBBBDADCEACDACDBAC平面几何中的几个典型问题平面几何中的几个典型问题一、共圆点问题一、共圆点问题四点共圆四点共圆在同一圆周上的若干个点称为共圆点共圆点，或称这些点共圆点共圆.共圆点问题一般都转化为四点共圆问题.在数学竞赛中，不仅出现单纯的证明点共圆的问题，还常常以点共圆问题（尤其是四点共圆）作为基础，解决其它比较复杂的问题. 证明四点共圆的基本方法：证明四点共圆的基本方法：(1)利用圆的定义到同一个定点的距离相等；(2)利用圆内接四边形性质定理的逆定理对角互补或外角等
2、于它的内对角；(3)利用圆周角定理的逆定理线段的同侧张角相等；(4)利用圆幂定理的逆定理相交弦、切割线；(5)利用托勒米定理的逆定理或西姆松定理的逆定理.例例 1 1在锐角三角形 ABC 中，以 BC 为直径作圆与 BC 边上的高 AD 及其延长线交于 M、N，以 AB 为直径作圆与 AB 边上的高 CE 及其延长线交于 P、Q，求证：M、N、P、Q 四点共圆.（美国 1990）【分析 1】M、N、P、Q 四点共圆HMHN=HPHQM、E、N、C 四点共圆HMHN=HEHCP、A、Q、D 四点共圆HPHQ=HAHDADC=AEC=900HEHC=HAHDHMHN=HPHQ.M、N、P、Q 四点
3、共圆.【分析 2】M、N 关于 BC 对称过 M、N 的圆的圆心必在 BC 上，同理，过 P、Q 的圆的圆心必在 AB 上，从而 B 是其圆心，故只需证 M、N、P、Q 到 B 的距离都相等.连 MB、MC，则BMC=900，又 MDBCBM2=DBBC 同理，BP2=BEBA，故只需证 BDBC=BEBA，2A、B、C共线的充要条件 sin(+)PB=sinPC+sinPABAD+DAC=1800 BCD共线BCM=DCN且MCN 共线BCD共线CBACBCDBDNMPAQEHDBCAFG即证 A、E、D、C 四点共圆.【分析 3】M、N、P、Q 四点共圆HMHN=HPHQ.连 BK，则 B
4、KAK，BKCK，A、K、C 共线，K 在 AC 上，BKAC，BK 必过点 H(H 是ABC 的垂心)，于是，HMHN=HBHK，HPHQ=HBHK，HMHN=HPHQ. M、N、P、Q 四点共圆.二、共线点问题二、共线点问题三点共线三点共线在同一条直线上的若干个点称为共线点共线点，或称这些点共线点共线.共线点问题一般都转化为三点共线问题.证明三点共线的基本方法：证明三点共线的基本方法： (1)利用“邻角互补”或对顶角定理的逆定理；(2)利用同一法；(3)利用特殊点、线的性质如西姆松线；(4)利用梅内劳斯定理的逆定理.；(5)利用张角关系定理由 P 点出发的三条射线 PA、PB、PC,APB
5、=,BPC=,APC=+1800.则 A、B、C 共线的充要条件是=+.PB)sin( PCsin PAsin例例 2 2设不过平行四边形 ABCD 顶点的任意一条直线分别与直线 AB、BC、CD、DA 交于E、F、G、H，则圆 EFC 与圆 GHC 的另一个交点 Q 必在定直线上. 【分析】事实上，Q 点在定直线 AC 上，即证 A、C、Q 共线.连 AQ、CQ、EQ、HQ，往证EQA=EQC，E、F、C、Q 共圆EQC=GFC，G、H、Q、C 共圆HQC=FGC，GFC+FGC+FCG=1800EQC+HQC+GFC=1800，BAD=FCG，EQH+EAH=1800A、E、Q、H 共圆E
6、QA=EHA，而 AHBCGFC=EHAEQA=EQCA、C、Q 共线，即 Q 必在定直线 AC 上.3FENMDCOBAT三、共点线问题三、共点线问题三线共点三线共点通过同一点的若干条直线称为共点线，或称这些直线共点.共点线问题一般都转化为三线共点问题.证明三线共点的基本方法：证明三线共点的基本方法： (1)证明三条直线通过某个特殊点；(2)证明某条直线通过另两条直线的交点；(3)转化为三点共线证明；(4)利用塞瓦定理的逆定理或西姆松定理.例例 3 3ABC 为锐角三角形，ADBC 于 D，以 AD 为直径作圆 SA，圆 SA分别交边 AB、AC于 M、N.过 A 作直线 LA垂直于 MN，
7、类似地作出 LB、LC.证明：LA、LB、LC共点.【分析 1】 （直观上看，LA可以过ABC 的外接圆的圆心 O）设法证它们过某一点，设 LA交ABC 外接圆于另一点 E，交 MN 于 F，连 DM，则ADM=ANM，AD 是圆 AMN 的直径AMD=900，AEMNAFN=900，BAD=EAC，又ABD=AEC，ACE=ADB=900，AE 是圆 ABC 的直径，即 LA过ABC 的外接圆的圆心 O，同理，LB、LC也过ABC 的外接圆的圆心 O，LA、LB、LC共点.【分析 2】设 LA交ABC 外接圆于另一点 E.连 DM、DN，过 A 作圆 ABC 的切线 AT，则TAC=ABC，
8、ADBCADM=ABC=ANM，AMD=AND=900，TAC=ANMATMN，又 LAMN，ATLALA过ABC 的外接圆的圆心 O，同理，LB、LC也过ABC 的外接圆的圆心 O，LA、LB、LC共点.四、与圆有关的问题四、与圆有关的问题与圆有关的问题形式多样，综合性强，解法灵活，所以数学竞赛的平面几何问题常与圆有关.解决这类问题，常借助全等、相似、比例线段以及与圆有关的性质圆周角、圆心角、弦切角、切线长定理、相交弦定理、切割线定理等.4FEN MLQKPCDBAACBPD例例 4 4设 ABCD 是平行四边形，圆 P 与边 BC、边 AB 的延长线及对角线 AC 相切，圆 Q 与边 CD
9、、边 AD 的延长线及对角线 AC 相切，且圆 P 与直线 AB 切于 K，圆 Q 与直线 AD 切于L，若直线 AB、QC 相交于 M，直线 AD、PC 相交于 N，求证：KM=NL.【分析】首先，圆 P 与圆 Q 和 AC 相切于同一点 S.设圆 P 切 AC 于 S1，圆 Q 切 AC 于 S2，由切线长定理得2AS1=AK+AS1=AB+BK+AC+CS1=AB+BT+AC+CT=AB+BC+ACAS1=(AB+BC+AC), AS2=(AD+DC+AC),21 21由 ABCD 是平行四边形，得 AS1=AS2，即 S1与 S2重合于一点 S，有 AK=AS=AL，只需证明 AM=A
10、N.连 AP，交 CM 于 E，只需证 APMC.ACE=SCQ=SCD=(1800-ACD)=900-ACD=900-CAB=900-CAE.21 21 21 21ACE+CAE=900, AEMCAM=AC,同理，AFNCAN=AC, AM=AN. KM=NL.五、定值问题五、定值问题如图形或其部分可以在满足一定的条件下变动，但图形中的某些几何量却不因图形的变动而变动，总恒等于某一常量，这样的问题称为定值问题.对定值问题，可以先就特殊位置关系探求定值，再对图形的一般位置加以证明.例 5 5证明：定圆(R)上任意一点到内接正三角形三个顶点距离的平方和是一个定值.【分析】如图，ABC 是定圆 O(R)的内接正三角形，若 P 与正ABC 一个顶点重合（如 P 与 B 重合） ，则PA2+PB2+PC2=BA2+BC2=2BA2=6R2，即定值是 6R2.可以证明，PA=PB+PC，BPA=BCA=600.在PAB 中，由正弦定理得，AB2=PA2+PB2-2PAPBcos600=PA2+PB2-PAPB，同理，AC2=PA2+PC2-2PAPCcos600=PA2+PC2-PAPC，相加，AB2+AC2=2PA2+PB2+PC2-PA(PB+PC)=PA2+PB2+PC2，即 PA2+PB2+PC2=AB2+AC2=2AB2=6R2(定值).5
