数值分析历年试卷

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1、数值计算方法课程考试卷数值计算方法课程考试卷I 类题号一二三四五六七合计满分20 14 14 14 15 15 8 100实得分一填空（共 20 分，每空 2 分）（1） ，则的谱半径 ，的 。 1511AA)(AA1)(Acond（2）设，则 L,2,1,0,53)(2kkhxxxfk,21nnnxxxf和 。,321nnnnxxxxf（3）向量是不是一种向量范数？（填是或|2| ,),(321321xxxxxxxT不是） 。是不是一种向量范数？（填是或不是） 。|3|321xxx（4）设是区间0 , 1上权函数为的最高项系数为 1 的正交多项 0)(kkxqxx )(式族，其中，则 ， 。

2、1)(0xq10)(dxxxqk)(2xq（5）设，当( )时，必有分解式，其中为下 11001aaaa AaTLLA L三角阵，当其对角线元素满足条件 时，这种分解是唯一的。)3,2,1( ilii二 （14 分）设，49,1,41,)(21023 xxxxxf（1）试求在上的三次 Hermite 插值多项式使满足，)(xf 49,41)(xH)()(jjxfxH以升幂形式给出。)(,)( )( ,2,1,011xHxfxHj（2）写出余项的表达式。)()()(xHxfxR三 （14 分）设有解方程的迭代法，0cos2312xxnnxxcos3241（1）证明均有（为方程的根） ；Rx 0*

3、lim1xxn n*x（2）取，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；40x310（3）此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。四（14 分）试确定常数和，使得数值积分公式CBA,)()0()()(22CfBfAfdxxf有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为 Gauss 型 的？五 （15 分）设有常微分方程的初值问题，试用 Taylor 展开原理构造形如 00)(),( yxyyxfy)()(11011nnnnnffhyyy的两步方法，使得它具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项。六 （15 分）已知方程组，其中，bAx 21,13 . 021bA（1）试讨论用 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的收敛性（2）若有迭代公式，试确定一个的取值范围，在这个范)()()()1(bAxxxkkk围 内任取一个值均能使该迭代公式收敛。七理论题（8 分）方程组，其中，是对称的且非奇异。设有误差，则原方程bAx nnRAAAA组变化为，其中为解的误差向量。试证明bxxAA)(x22122 | | AA xxxn 其中和分别为的按模最大和最小的特征值。1nA