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1、数列求和的方法数列求和的方法1、公式法：、公式法： 如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列， 我们可以运用等差、等比数列的前 n 项和的公式来求.等差数列求和公式：1 11 22n nn aan nSnad等比数列求和公式： 11111111n nnna qSaqaa qqqq 常见的数列的前 n 项和：123 +n=(1) 2n n， 1+3+5+(2n-1)=2n2222123 +n =(1)(21) 6n nn，3333123 +n =2(1) 2n n 等.2、倒序相加法：、倒序相加法：类似于等差数列的前 n 项和的公式的推导方法。如果一个数列，与首 na末两
2、项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个 和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.例 1、 已知函数 2 22xxf x （1）证明：； 11f xfx（2）求的值.1289 10101010ffffL解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，1928551101010101010ffffffL1289 10101010SffffL令9821 10101010SffffL则两式相加得：所以.192991010Sff 9 2S 小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序
3、相 加法求和.针对训练 3、求值：22222222222212310 1102938101S L L3、错位相减法：、错位相减法： 类似于等比数列的前 n 项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差 数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差比”数列，则采用 错位相减法.若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令nnnabc nb ncq1 12211nnnnnSbcb cbcb cL则 nqS 1 22 311nnnnbcb cbcb cL两式相减并整理即得 例 2、 （2008 年全国第 19 题第（2）小题，满分 6 分）已知 ，求数列an的前 n 项和 Sn.12nnan解：
4、01211 22 2(1) 22nn nSnnggLgg12121 22 2(1) 22nn nSnnggLgg得01121 222221nnnn nSnnggLg小结：错位相减法的求解步骤：在等式两边同时乘以等比数列的公 nc比；将两个等式相减；利用等比数列的前 n 项和的公式求和.q针对训练 4、求和：23230,1n nSxxxnxxxL4、裂项相消法：、裂项相消法： 把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差， 在求和时一些正负项相互抵消，于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似（其中是各项不为零的1nnc a a na等差数
5、列， 为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌c 握一些常见的裂项方法：（1），特别地当时，11 11 n nkknnk1k 111 11n nnn（2），特别地当时11nknknkn1k 111nnnn 例 3、数列的通项公式为，求它的前 n 项和 na1 (1)nan nnS解：1231nnnSaaaaaL11111 1 22 33 411nnn nL=11111111112233411nnnnL1111n nn 小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两 项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项 数相同.针对训练 5、求数
6、列的前 n 项和.1111,1223321nnLLnS5、分组求和法：、分组求和法： 有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开， 可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 4、求和： 12323 543 563 523 5n nSn L解： 12323 543 563 523 5n nSn L12324623 5555nnLL2111553113114515nn n nnn 小结：这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差（比）数列或 常见的数列，使问题得到顺利求解.针对训练 6、求和： 23123n nSaaaanL基本练习基本练习1.等比数列等比数列的前项和的前项和 S2，则，则_.na22 32 22 1naaaaL2.设设，则，则_.1357( 1) (21)n nSn LnS3. .111 1 447(32)(31)nnL4. =_1111.2 43 54 6(1)(3)nn5. 数列数列的通项公式的通项公式 ，前，前 n 项和项和2211,(12),(122 ),(1222),nLLLna nS 6 的前的前 n 项和为项和为_;,212,25,23,2132LLnn
