闭区间上二次函数的最值

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1、 中小学个性化辅导专家 龙文教育学科教师辅导讲义龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名：学员姓名： 高马甜高马甜 年级：高一年级：高一 所在学校：萧五中所在学校：萧五中 教师：李双际教师：李双际课课 题题闭区间上二次函数的最值闭区间上二次函数的最值教学目标教学目标熟练掌握闭区间上二次函数最值求法重点、难点重点、难点闭区间上二次函数最值求法考点及考试要求考点及考试要求闭区间上二次函数最值求法教学内容教学内容重点难点突破重点难点突破:二次函数是最简单的非线性函数之一，自身性质活跃，同时经常作为其他函数的载体。二次函数在某一区间 上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系

2、数中增添参变数，使其又 成为高考数学中的热点。一一. 定二次函数在定区间上的最值定二次函数在定区间上的最值二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例例1. 函数在区间0，3上的最大值是_，最小值是_。yxx 242解：函数是定义在区间0，3上的二次函数yxxx 224222()， 其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横x 2坐 标在0，3上，如图1所示。函数的最大值为，最小值为。f ( )22f ( )02 例例2. 已知，求函数的最值。232xxf xxx( ) 21总结：已知二次函数（不妨设），它的图象是顶

3、点为、对称轴为f xaxbxc( ) 2a 0 b aacb a24 42 ，中小学个性化辅导专家 、开口向上的抛物线。由数形结合可得在m，n上的最大值或最小值：xb a 2f x( )（1）当时，的最小值是的最大值是中的较b amn2，f x( )fb aacb af x 24 42 ， ( )f mf n( )( )、大者。（2）当时b amn2，若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是b am2f x( )mn，f x( )f m( )f n( )若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是nb a 2f x( )mn，f x( )f m( )f n( )二二. 动二次函数在定区间上的最值动

4、二次函数在定区间上的最值二次函数随着参数a的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次 函数在定区间上的最值”。例例3. 已知，且，求函数的最值。x21a 20f xxax( ) 23解：由已知有，于是函数是定义在区间上的二次函数，将配方得： 112xa，f x( )11，f x( )f xxaa( ) 23422二次函数的对称轴方程是f x( )xa 2顶点坐标为，图象开口向上 aa 2342 ，由可得，显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上。a 2xa 2111，函数的最小值是，最大值是。fa()14fa( ) 14例例4. 已知二次函数在区间上的最大值为

5、5，求实数a的值。f xaxaxa( ) 224141，解后反思解后反思：例3中，二次函数的对称轴是随参数a变化的，但图象开口方向是固定的；例4中，二次函数的对称轴是 固定的，但图象开口方向是随参数a变化的。三三. 定二次函数在动区间上的最值定二次函数在动区间上的最值中小学个性化辅导专家 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数t而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例例5. 如果函数定义在区间上，求的最小值。f xx( )()112tt， 1f x( )解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开f xx( )()112x 1 口向上。如图所示，若顶点横坐标在区间

6、左侧时，有。当时，函数取得最tt， 11 txt小值。f xf tt( )( )()min112如图所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时tt， 1tt1101tx 1，函数取得最小值。f xf( )( )min11如图所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，tt， 1t 11t 0xt1函数取得最小值f xf tt( )()min112综上讨论，f xtt ttt( )(), ,min 111 1011022例例6. 设函数的定义域为，对任意，求函数的最小值的解析式。f xxx( ) 244tt21，tRf x( )( ) t四四. 动二次函数在动区间上的最值动二次函数在动区间上的

7、最值二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值” 。中小学个性化辅导专家 例例7. 已知，且当时，的最小值为4，求参数a的值。ya xa a240()()xaSxy() 322解：将代入S中，得ya xa24()Sxa xaxa xaxaaa()()()()342 32943212822222则S是x的二次函数，其定义域为，对称轴方程为，顶点坐标为xa ，xa32，图象开口向上。()321282aaa，若，即则当时，此时，或32aa01axa32Saa最小12842a 1a 1 2若，即则当时，此时，或（因32aaa 1xaSaaaa最小()32128422a 5a 1舍去）综上讨论，参变数a的取值为，或，或aa11，a 1a 1 2a 5例例8. 已知，且当时，的最小值为1，求参变数a的值。()()xyaa1 402 22xa12Pxy()422解后反思解后反思：例7中，二次函数的对称轴是变化的；例8中，二次函数的对称轴是固定的。另外，若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后 奏的方法。二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进 行取舍。