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1、高考数列题的常用解题策略高考数列题的常用解题策略浙江省永康县一中 李康海数列是高中数学的重要内容，它与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系，求解数列题往往涉及到重要的数学思想方法，对学生的能力要求较高。因此，数列问题成为历年高考的热点内容，本文以高考题为实例，谈谈求解高考数列题的常用策略。一、化归转化策略数列问题常可化归为等差（等比）数列或化归为我们熟悉的数列问题去求解；又由于数列的通项公式及求和公式可看成是关于的函数，因此，也可将数列问题转化成函数问题去解决。例 1、设是正数组成的数列，其前项和为，且对所有的自然数，与 2 的等差中项等于与 2 的等比中项，求数列的通项公式。 （1994
2、 年全国高考试题）解：由题意，得。当2 时，整理得：，故数列是首项为 2，公差为 4 的等差数列，。例 2、设为数列的前项和，数列通项公式为。（1）求数列的通项公式；（2）若，则称为数列与的公共项。将数列与的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列，证明数列的通项公式为；（3）略。 （1996 年上海高考试题）解：（1）由已知，当时，解得，当时，解得。数列是首项为 3，公比为 3 的等比数列，故。（2）易知不是数列中的项，是数列中的第 6 项。设是数列中的第项，则，不是数列中的项。又，是数列中的项。因此，。评析：解（2）的关键是由题设得出这一关系式，难点是运用分类思想进行归纳、判断，
3、得出的通项公式，分类是按除以 3 的余数来进行讨论。该题应用了化归、分类等思想，是一道反映高考动向，考察学生能力的好题。例 3、设等差数列的前项和为，已知。（1）求公差的取值范围；（2）指出中哪一个值最大，并说明理由。 （1992 年全国高考试题）解：（1）由题意，即，又，代入(1)，(2)得。（2），因为0，且当时，由二次函数的知识得时，最大，即最大。二、整体思维策略在解题时，运用数列的性质，如等差数列中，；等比数列 中，（其中）等等，进行整体思考，可以简化解题过程，优化解题质量，例 4、等差数列的前项和为 30，前项和为 100，则它的前项和为（ ）。（A）130； （B）170； （C）
4、210； （D）260。 （1996 年全国高考试题）解：由等差数列的性质，有，。例 5、设是由正数组成的等比数列，是其前项和，证明。 （1995 年全国高考试题）证明：设的公比为，由得，故。三、特殊探测策略通过对某些特殊情形的观察、探索，猜测出问题的一般结论，然后运用数学归纳法或其它方法加以证明。这种策略是解数列题的常用策略之一。例 6、是否存在常数，使等式对一切自然数都成立，并证明你的结论。 （1989 年全国高考试题）解：令得：，解得，猜测：对一切自然数都成立。易用数学归纳法给予证明（略）例 7、若，那么是否可依某个次序组成等比数列？若能，求出的值；若不能，说明理由。 （1995 年咸阳
5、市高考诊断试题）解：当时，。从而猜测可能按的次序成等比数列。若成等比数列，则，解得，满足，故可按的次序组成等比数列，此时。四、递推探求策略对于有些数列问题，我们可以建立起一个递推关系式，根据递推关系的性质进行探求。例 8、设数列的前项和为，且，（其中是与无关的常数，且）。试写出用和表示的表达式。 （1987 年全国高考试题）解：，当时，故，继续用递推式（1）代下去，即得，五、分类讨论策略所谓分类讨论策略，是指解题时根据数列的有关公式，如，且；等比数列求和公式等；或根据问题的特点进行分类讨论的策略。例 9、已知等比数列的首项，公比且，设数列的通项，数列、的前项和分别记为，试比较与的大小。 （1989 年上海高考试题）解：。当时，；当时，。故当且时，总有。又，当且时，；当时，；当时，。
