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1、数字信号处理复习数字信号处理复习第一部分第一部分:离散时间离散时间 LTI 系统的时域分析系统的时域分析 1.概念概念: 1.1 单位冲激响应和线性卷积单位冲激响应和线性卷积 离散时间离散时间 LTI 系统的单位冲激响应系统的单位冲激响应 hn为系统对单位冲激序列为系统对单位冲激序列 n的零状态响应。的零状态响应。 单位冲激响应的概念单位冲激响应的概念非常重要非常重要。在时域，。在时域，LTI 系统可以由其单位冲激响应系统可以由其单位冲激响应 hn唯一确定，因此，我唯一确定，因此，我 们常常用单位冲激响应描述们常常用单位冲激响应描述 LTI 系统。在这种情况下，系统。在这种情况下， LTI 系
2、统的输入输出关系可以由卷积运算描述：系统的输入输出关系可以由卷积运算描述：kknhkxny物理意义物理意义: 卷积和运算具有显式意义，即可以用来确定系统的输出。如果系统确定，则其单位冲激响卷积和运算具有显式意义，即可以用来确定系统的输出。如果系统确定，则其单位冲激响 应是唯一的。由此，可求系统对任意输入的响应。应是唯一的。由此，可求系统对任意输入的响应。 注意注意: 计算卷积和的关键是计算卷积和的关键是求和区间求和区间的确定。因此，常常需要绘制序列的确定。因此，常常需要绘制序列 xk 和和 hh-k的图形。利用的图形。利用 序列序列 xk和和 hh-k 的图形可助我们方便地确定求和区间。的图形
3、可助我们方便地确定求和区间。 要求要求:理解冲激响应的概念，会运用卷积和运算求系统的响应。理解冲激响应的概念，会运用卷积和运算求系统的响应。 例例:计算下述序列的线性卷积计算下述序列的线性卷积 yn=xn*hn：(a) (b) N 为正整数为正整数 nnhnnxnn Nnnnhnnxn (b) (c) 56 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 nnnhnx 325 . 0 nnnhnnxn回答下述问题回答下述问题: (a) 怎么确定指定系统响应怎么确定指定系统响应 yn的时间变量的时间变量 n 的范围？的范围？ (b) 怎样确定由卷积和计算的系统响应怎样确定由卷积和计算的系统响应 yn的序
4、列长度？的序列长度？ 1.2 线性常系数差分方程及其求解线性常系数差分方程及其求解 卷积和是一种卷积和是一种 LTI 系统的数学模型，一般情况下，我们可以用差分方程描述系统的数学模型，一般情况下，我们可以用差分方程描述 LTI 系统的输入输出关系统的输入输出关 系。系。 MkkNkkknxbknya00差分方程给出了系统响应差分方程给出了系统响应 yn的内部关系。为得到的内部关系。为得到 yn的显式解，必须求解方程。的显式解，必须求解方程。 求解步骤求解步骤:(a) 根据差分方程确定特征方程：根据差分方程确定特征方程：00 Nkn ka(b) 求解特征根，然后可确定其齐次解（若无重根）：求解特
5、征根，然后可确定其齐次解（若无重根）： n NNnn cCCCnyL2211(c)特解具有系统输入相同的形式，例如，如果输入为特解具有系统输入相同的形式，例如，如果输入为 xn = nn, 则特解为则特解为 ypn = Knn， 将将 ypn代入到差分方程，求出参数代入到差分方程，求出参数 K。(d) 完全解为：完全解为：nynynypc(e) 将给定的初始条件将给定的初始条件 y-1, y-2, , y-N通过递归方法得到另外一组条件通过递归方法得到另外一组条件 y0, y1, ,yN-1。将。将 y0, y1,yN-1代入到完全解代入到完全解 yn, 则可确定响应系数则可确定响应系数 C1
6、, C2, , CN 。 例例:求解下列差分方程：求解下列差分方程：(a) ，其输入为，其输入为 xn = (1/2)nn ，且给定初始条件，且给定初始条件 y-1 = 8。 141nxnyny(b) ，其输入为，其输入为 xn = (2)nn ，给定初始条件为，给定初始条件为 y-1 = -1, y-281 141nxnynyny2 = 1。(c) ，给定初始条件，给定初始条件 y-1 = -1, y-2 = 2, 系统输系统输 12206. 0 11 . 0nxnxnynyny入为入为 xn = (0.4)nn。 求解求解(c): 首先确定其次解首先确定其次解:特征方程：特征方程： 006
7、. 01 . 02根根: 和和 3 . 012 . 01齐次解为：齐次解为： ，当，当 n0nn cCCny)2 . 0()3 . 0(21确定特解：确定特解：根据输入有特解为根据输入有特解为。显然，。显然， 满足差分方程，将满足差分方程，将 代入到差分方程得到：代入到差分方程得到：n pKny)4 . 0(nypnyp 1)4 . 0(2)4 . 0()4 . 0(06. 0)4 . 0(1 . 0)4 . 0(121nnKKKnnnnn当当 n 1, 上述方程可以表示如下：上述方程可以表示如下：nnnnnKKK)4 . 0(44 . 021 )4 . 0()4 . 0(06. 0)4 .
8、0(1 . 0)4 . 0(121即有：即有： 4)4 . 0(06. 0)4 . 0(1 . 021KKK316K则特解为：则特解为：n pny)4 . 0(316完全解为：完全解为：nnnCCny)4 . 0(316)2 . 0()3 . 0(21根据初始条件可得：根据初始条件可得：22. 1 120206. 0 11 . 00xxyyy782. 102 1 106. 001 . 0 1 xxyyy代入上述条件到完全解得到下述方程：代入上述条件到完全解得到下述方程：22. 1316021CCy782. 1)4 . 0(316)2 . 0()3 . 0( 1 21CCy有：有： 63. 49
9、2. 121 CC则完全解：则完全解： n 0nnnny)4 . 0(316)2 . 0(63. 4)3 . 0(92. 11.3 LTI 离散时间系统的性质离散时间系统的性质 (a) 线性线性(b) 时不变时不变(c) BIBO 稳定稳定 如果输入有界输出有界，则系统如果输入有界输出有界，则系统 BIBO 稳定。稳定。 因为常用单位冲激响应因为常用单位冲激响应 hn描述描述 LTI 系统，则可利用下述条件确定系统，则可利用下述条件确定 LTI 系统的稳定性系统的稳定性:此条件被称为绝对可和条件。此条件被称为绝对可和条件。nnh(d) 因果性因果性 系统满足因果性，是指系统在系统满足因果性，是
10、指系统在 n = n0 时刻的输出时刻的输出 yn决定于决定于 n = n0 的输入值的输入值 xn0和和 n0时刻之前的时刻之前的 输入值输入值, nN = X*N-k或或 X*k = X N = X N-k 其中，其中，N = 316 基于此基于此, 有有: X 316-17 = X*17 = X299 = 1.5 Eq.(1) X k1 = j2.3 Eq.(2) X 316-k2 = X* k2 = 4.2 Eq.(3) X 316-110 = X*110 = X206 = j1.7 Eq.(4) X 316-158 = X*158 = X158 =13+ j Eq.(5) X k3
11、= +j1.7 Eq.(6) X 316-179 = X*179 = X137 = 4.2+j Eq.(7) X 316-210 = X*210 = X116 = +j2.3 Eq.(8) X k4 = 1.5 Eq.(9) (a) 和和 (b) 根据根据 Eq.(1) 和和(9), 得得 X299 = X k4 = 1.5 则则 k4 = 299 根据根据 Eq.(2) 和和 (8),得：得：X k1 = j2.3, X116 = +j2.3 则则 k1 = 116 及及 = 0 根据根据 Eq.(3) 和和 (7), 得：得： X k2 = 4.2 和和 X137 = 4.2+j 则：则：
12、k2 = 137 及及 = 0 根据根据 Eq.(4) 和和 (6), 得：得： X206 = j1.7 和和 X k3 = +j1.7 则：则：k3 = 206 及及 = 0 根据根据 Eq.(5),X*158 = X158 =13+ j, 则则 = 0 (c) xn的的 dc 值值?根据根据,有：有：10Nnkn NWnxkXjnxXNn3010因为因为 xn为实序列为实序列,则则 = 0,因此因此310Nnnxxn的的 dc 值为值为3163110NnnxN这个问题告诉我们，如果这个问题告诉我们，如果 xn为实序列为实序列, 则其则其 DFT 必为共轭对称序列。在这种情况下，我们可以通必
13、为共轭对称序列。在这种情况下，我们可以通 过共轭对称性质来确定过共轭对称性质来确定 Xk未知量。未知量。 6. 实序列的实序列的 DFT 计算计算(重点重点) 给定两长度为给定两长度为 N 的实序列的实序列 gn和和 hn, 根据以下等式，用一根据以下等式，用一 N 点点-point DFT 计算得到两实序列计算得到两实序列 gn 和和 hn的的 N 点点 DFTs。 *21*21NkXkXkNXkXkG*21*21NkXkXjkNXkXjkH其中，其中， Xk 为为 xn =gn+jhn的的 N 点点 DFT。第第 3 部分部分: z 变换变换 1. 定义定义 Z 变换为离散时间信号与变换为离散时间信号与 LTI 系统分析的重要数学工具。系统分析的重要数学工具。 给定一离散时间序列给定一离散时间序列 xn, 其其 z 变换定义为：变换定义为：-记住记住!nnznxzX)(其中，其中， ,sez js如如 DTFT, z 变换在一定条件下存在。变换在一定条件下存在。z 变换存在情况下的变换存在情况下的 Z 变量取值范围称为变量取值范围称为收敛域收敛域(ROC)。 2. 序列特性与序列特性与 X(z)的收敛域的收敛域 ROC 的关系。的关系。(重点重点) a. ROC 不包含任何极点。不包含任何极点。 b.有理有理 z 变换的收敛域变换的收敛域
