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1、第 1 页 共 7 页2008-2009 学年第二学期学年第二学期微积分微积分(B)II期末考试试卷期末考试试卷(A)答案答案一、填空题（每小题 4 分，共 24 分）1设=.dzxzy则,2xdyxdxyxyyln22222 所确定的函数,0),(),(),(），（都是由设zyxFyxzzzxyyzyxx且 F 的一阶偏导数连续, = -1 .xz zy yxFFFzyx则, 03设函数则此函数的梯度),ln(),(222zyxzyxf=. )( fgrad 2222222222,2,2 zyxz zyxy zyxx4 交换二次积分的积分次序.后,= . y dxyxfdy1201),( 0
2、121),(xdyyxfdx5= . dSyxzzyx)(,0, 122222则是上半球面设346下列 4 个级数的收敛性(填收敛或发散)为(A)发散, (B)收敛, (C)收敛, (D)发散.(A), (B), 13254321nnnn1) 1() 12)(1()9()92)(9(nnneee LL(C), (D).1)1ln() 1(nnn1) 1() 1(nnn nn评评分：第分：第 4 题题差一个差一个负负号号给给 3 分。第分。第 2 题题差一个差一个负负号号给给 1 分。分。二、简单计算题（每小题 6 分，共 36 分）7. 计算,其中 D 是由所围成的区域.Ddxdyyx)(22
3、1, 0,2xyxy解：解：原式=.105263131)(101064 0320221022 dxxxdxyyxdyyxdxxy yx第 2 页 共 7 页评评分：第一个等号分：第一个等号给给 4 分分,积积分限分限 3 分分(前前 1 后后 2)。第。第 2 个等号个等号给给 1 分分,答数答数 1 分。分。8. 设试分别用直角坐标、 . 0, 1,),(222zzyxdvzyxfI为半球体其中柱面坐标及球面坐标将 I 表成三次积分形式.解：解：直角: I =2222101111),(yxxxdzzyxfdydx柱面: I =2101020),sin,cos(r dzzrrfrdrd球面:
4、I =1022/020sin)cos,sinsin,cossin(drrrrrfdd评评分：每一个式子分：每一个式子给给 2 分。分。9. 计算曲线积分,其中 L 为连接 (1,0), (0,1) 两点的直线段.Ldsyx)(解：解：原式=2211:)(10210dxdxydsxyLdsyxxxx评评分：分：给给 2 分分, 给给 2 分分,积积分限分限给给 1 分分, 答数答数 1 分。分。xyL1:dxdxydsx21210. 判别下列积分是否与路径有关, 并求积分之值.4,)3() 1(2222的正向为圆周其中yxLdyxdxxy解：解： 积分与路径有关,08) 1(2)3(2xxPQy
5、xQ积分值=328 DDyxdxdydxdyPQ评评分：分：给给 2 分分, “与路径有关”给给 1 分分,第第 2 行行 1 个等号个等号给给 1 分。分。0yxPQ第 3 页 共 7 页11. 求微分方程的通解.yxedxdyxxy/解：解：， 代入原方程淂：xyu 令。Cxedxxdueuedxduxuuuulnln1xCexy/)exp(/评评分：分：给给 2 分分, 得“” 给给 2 分，分，答案（有不同形式）给给 2 分。分。“xyu 令uedxdux12 (1)求微分方程 的通解.044 yyy(2)求微分方程 的特解形式.xexyyy2244 解解: (1) xxxeCeCyr
6、rrr2 22 12122044(2) )(222cbxaxexyx评评分：（分：（1）到第）到第 1、 、2、 、3 个个“”前给到 2、3、4 分分, （2）2 分。有有 即 k=2 给 12x分.三、计算题（每小题分数依次为 7,7,10,10 分，共 34 分）13. 设其中函数 u 的二阶偏导数连续.),(,),(babyxayxuu(1)求.,yyxyxxyxuuuuu (2)问 a、b 为何值时，使. 0034 uuuuyyxyxx变换为解解:(1),ubuauuuuyx,.2uuuuuuuuxx .2,)(22 ubuabuauububauauyyxy (2) yyxyxxuu
7、u 34Qubbuabbauaa )341 ()6 42()341 (22解得还有，令)(0)341 (0)6 42(0)341 (22babbabbaaa第 4 页 共 7 页即为所求.1,311,31abba或评评分分:(1)5 分分.一个一个结结果果 1 分。分。 （ （2） ）2 分。第一个等号分。第一个等号 1 分分,结结果果 1 分分.14. 把函数展成 x 的幂级数,并指出其收敛区间(不考虑区间端点).x dtttxf0)1ln()(解：解： ( | t |1 ) xnnnx dtnt tdtttxf00101) 1(1)1ln()( | x |1 ) 02 00000) 1()
8、 1(11) 1(1) 1(1) 1(nnnnnnnx nnxnnnnx nx ndttndtnt评评分分: 有有“|x|1”1 分。第二个等号分。第二个等号 3 分分, 结结果果 2 分分.15计算曲面积分， dxdyyxzdzdxydydzx)(2233其中所截得部分的下侧.422zyxz被为令所截得部分的上侧,则 原式=22 14yxzz被为 11由高斯公式4 22)(2233221)(4) )()()(zyxzDzyxdzyxdxdydvyxzyxxy3128)4(42420224 220202 drrrrdzrrdrdzrz由曲面积分计算公式DDdxdyyxzzxy)(4004:)(
9、 1(221)(11正侧） 32)(420220rdrrd第 5 页 共 7 页故 原式=332323128评评分分: 令“”2 分。所求写成两个分。所求写成两个积积分的差分的差 1 分分, 高斯公式高斯公式 3 分，其中第分，其中第 1、 、2 个个41z为等号各等号各 1 分，答数分，答数 1 分。另一个分。另一个积积分分 2 分。分。总总答数答数 1 分分.16 求在区域上的最大值和2222,2f x yxyx y22,4,0Dx y xyy最小值。解：，所以 D 内驻点为.2222;42ffxxyyx yxy2,12,1边界 1:上显然函数最大值点为(-2,0),(2,0)，最小值点为
10、(0,0)。,22,0x yxy为求边界 2上的最大值与最小值，构造辅助函数22,4,0x y xyy，则由222222, ,24F x yxyx yxy，得到可疑点，22222220422040Fxxyxx Fyx yyy Fxy 53530,22,02,0,2222所有疑点的函数值依次为 2,2,4,4,0,，所以最大值为 8，最小值为 0。7 78,4,4,4 4 评评分分: “D 内驻点”3 分(求导 2 分, 驻点 1 分)；“边界 1”2 分；“边界 2”4 分(辅助函数 1 分,求导 1 分,疑点 2 分);结论 1 分四、应用题（共 6 分）17有一房间容积为 100，开始时房
11、间空气中含有 0.12%的，为了改善房间的3m2CO空气质量，用一台风量为 10/min 的排风扇通入含 0.04%的的新鲜空气，同3m2CO时以相同风量将混合均匀的空气排出，求房间中的含量 x（单位：）与时2CO3m间 t（单位：min）的关系 x=x (t) 满足的微分方程. 注意这里只要求列微分方程，不要求解微分方程.第 6 页 共 7 页解：解：出出入入NdtVNdtVtxdttxtxd)()()()()(dttxtxdtdt)(1 . 0004. 0 01. 0)()10(01. 004. 0)10(即 xxdttxxdt1 . 0004. 0)(1 . 0004. 0或评评分分: 结论正确给 6 分.第一个等号给 1 分.一般只给三种分数,0、1、6 分。第 7 页 共 7 页
