《平面向量【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】(学生版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面向量【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】(学生版)（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、平面向量一向量有关概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。2零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；03单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；ABuuu r|AB ABuuu r uuu r4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：abab，规定零向量和任何向量平行。提醒提醒： 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平
2、行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性平行向量无传递性！（因为有)；0r三点共线共线；ABC、 AB ACuuu r uuu r、 6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如aa下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点abrrabrr相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（ABDCuuu ruuu rABCDABCDABDCuuu ruuu r5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_,ab bcrr rr acrr/ , /ab bcrr
3、rr /acrr二向量的表示方法：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；AB2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；abc3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底xyij，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫a,axiy jx yrrr, x yaa, x y做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。a三平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1e2。如1212（1 1）若，则_(1,1),abr
4、r(1, 1),( 1,2)c rc r（2 2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. B. 12(0,0),(1, 2)eeu ru u r12( 1,2),(5,7)ee u ru u rC. D. 12(3,5),(6,10)eeu ru u r1213(2, 3),( ,)24eeu ru u r（3 3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表,AD BEuuu r uuu r ABC,BC AC,ADa BEbuuu rr uuu rr BCuuu r, a br r示为_（4 4）已知中，点在边上，且，则的值是_ABCDBC DBCD2 ACsABrCDsr _四实数与
5、向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：aa当0时，的方向与的方向相同，当0时，的方向与的方向 1, 2aarraaaa相反，当0时，注意：0。0arra五平面向量的数量积：1两个向量的夹角：对于非零向量，作，ab,OAa OBbuu u rr uuu rrAOB称为向量，的夹角，当0时，同向，当时，反向，当0ababab2时，垂直。ab2平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫ab|cosa brr做与的数量积（或内积或点积），记作：，即。规定：零向量与任一向abababcosa br r量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如
6、（1 1）ABC中，则_3| AB4| AC5| BCBCAB（2 2）已知，与的夹角为，则等于_11(1, ),(0,),22abcakb dabrrrrr u rrrcrdu r4k（3 3）已知，则等于_2,5,3aba b rrr rgabrr（4 4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为_, a br rababrrrr与aabrrr3在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。ba|cosbr4的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。ababa|arba5向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则：ab；0aba brrrr当，同向时，特别地，；当与反向时，ababa br
7、r222,aa aaaarrrrrraba；当为锐角时，0，且不同向，与为锐角不是等价条件；当为ba br r ab a br r、0a br r 钝角时，0，且不反向，与为钝角也不是等价条件；ab a br r、0a br r 非零向量，夹角的计算公式：；。abcosa ba brrr r| |a ba brrrr（1 1）已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_)2 ,( a)2 ,3( b a b（2 2）已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围OFQS1 FQOF23 21 S FQOF,是_（3 3）已知与之间有关系式，(cos ,sin ),(cos ,sin ),axx byyr
8、r arbr3,0kabakbkrrrr且且用表示；求的最小值，并求此时与的夹角的大小ka br r a br r arbr六向量的运算：1几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和,ABa BCbuuu rr uuu rrACuuu rarbr，即；abABBCACrruuu ruuu ruuu r向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量,ABa ACbabABACCAuuu rr uuu rrrruuu ruuu ruu u r那么的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被
9、减向量的起点相同。如（1 1）化简：_；_；_ABBCCDuuu ruuu ruuu rABADDCuuu ruuu ruuu r()()ABCDACBDuuu ruuu ruuu ruuu r（2 2）若正方形的边长为1，则_ABCD,ABa BCb ACcuuu rr uuu rr uuu rr|abcrrr（3 3）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为ABCV2OBOCOBOCOAuuu ruuu ruuu ruuu ruu u rABCV_（4 4）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设DABCBCABCP0PABPCPuu u ruu u ruu u rr，则的值为_| |A
10、P PDuuu r uuu r（5 5）若点是的外心，且，则的内角为_OABC0OAOBCOuuu ruuu ruuu rrABCC2坐标运算：设，则：1122( ,),(,)ax ybxyrr向量的加减法运算：，。如12(abxxrr12)yy（1 1）已知点，若，则当_时，点P在第一(2,3), (5,4)AB(7,10)C()APABACRuuu ruuu ruuu r 、三象限的角平分线上（2 2）已知，则 1(2,3), (1,4),(sin ,cos )2ABABxyuuu r且,(,)2 2x y xy（3 3）已知作用在点的三个力，则合力的终(1,1)A123(3,4),(2,
11、 5),(3,1)FFFu u ruu ruu r123FFFFu ru u ruu ruu r点坐标是 实数与向量的积：。 1111,ax yxyr若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有1122( ,), (,)A x yB xy2121,ABxx yyuuu r向线段的终点坐标减去起点坐标。如设，且，则C、D的坐标分别是_(2,3), ( 1,5)AB 1 3ACABuuu ruuu r3ADABuuu ruuu r平面向量数量积：。如1212a bx xy yrr已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, ab（1，0）。（1）若x，求向量、的夹角；（2）若x，函数
12、c3ac4,83baxf)(的最大值为，求的值21向量的模：。如222222|,|axyaaxyrrr已知均为单位向量，它们的夹角为，那么_, a br r60o|3 |abu u rr两点间的距离：若，则。如1122,A x yB xy22 2121|ABxxyy如图，在平面斜坐标系中，平面上任一点P关于斜坐标xOy60xOyo系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与x轴、y轴同12OPxeyeuuu ru ru u r12,e eu r u u r方向的单位向量，则P点斜坐标为。（1）若点P的斜坐标为（2，2），( , )x y 求P到O的距离PO；（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标
13、系中xOy 的方程。七向量的运算律：1交换律：，；abbarrrr aa rra bb arrrr2结合律：，；,abcabc abcabcrrrrrr rrrrrr aba babrrrrrr3分配律：，。,aaaababrrrrrrrabca cb c rrrrrrr如下列命题中： ； ； cabacba)( cbacba)()(2()ab 2|a ； 若，则或；若则；22| |abb 0 ba0 a0 b,a bc b r rr r acrr22aarr；。其中正确的是_2a bbaar rrrr222()a babr rrr222()2abaa bbrrrr rr提醒：（1）向量运算和
14、实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？cbacba)()(八向量平行(共线)的充要条件：0。如/ababrrrr22()(|)a ba br rrr1212x yy x（1 1）若向量，当_时与共线且方向相同( ,1),(4, )axbxrrxarbr（2 2）已知，且，则x_(1,1),(4, )abxrr2uabrrr2vabrrr/uvrr（3 3）设，则k_时，A,B,C共线( ,12),(4
