三角多项式逼近与多项式逼近

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1、闭区间上连续函数的闭区间上连续函数的 Weierstrass 三角多项式逼近与多项式逼近三角多项式逼近与多项式逼近一、按下面的步骤探索闭区间上连续函数的一、按下面的步骤探索闭区间上连续函数的 Weierstrass 三角多项式逼近三角多项式逼近1、三角多项式函数、三角多项式函数 形如，01( )cossin2nnkk kAT xAkxBkx的函数称为以为周期的三角多项式函数；2 形如，01()cos()sin()2nnkk kAkkTxaAxaBxabababa的函数称为以为周期的三角多项式函数。2()ba2、傅里叶级数的一致收敛性、傅里叶级数的一致收敛性设是以为周期的连续函数（或是上的连续函

2、数，且） ，( )f x2( )f x, ()( )ff且在上按段光滑，则的傅里叶级数, ( )f x，01cossin2nn naanxbnx在（或）上一致收敛于，其中，(,) , ( )f x，01( )daf xx1( )cosdnaf xnx x1( )sindnbf xnx x（） 。1,2,n L提示：首先，导出与的傅里叶系数的如下关系：记，（）( )f x( )fx0AnAnB1,2,n L为的傅里叶系数，则注意到可得，( )fx()( )ff，0111( )d( )( )()0Afxxf xff ，11( )cosd( )cos( )sindnnAfxnx xf xnxnf x

3、nx xnb 。11( )sind( )sin( )cosdnnBfxnx xf xnxnf xnx xna 其次，注意到，2 2111()2nnnbAAnn2 2111()2nnnaBBnn 以及贝塞尔不等式，2 222011( )d2nn nAABfxx推出收敛。1nn nab最后，利用傅里叶级数的收敛定理和优级数判别法可得，的傅里叶级数( )f x，01cossin2nn naanxbnx在上一致收敛于。(,) ( )f x3、以、以为周期的连续函数的三角多项式逼近为周期的连续函数的三角多项式逼近2设是以为周期的连续函数，则对任意，存在以为周期的三角多项式函数( )f x202，使得，对

4、任意，有( )nT x(,)x 。( )( )nf xT x提示：由周期函数的特点，只须在探索上述结论；, 首先，注意到在上连续，可得在上一致连续，且( )f x, ( )f x, ，()( )ff从而导出：对任意，存在上连续的折线函数，使得，0, L( )x，且；1( )L( )2f xxL()L( )其次，利用傅里叶级数的一致收敛性，导出：存在三角多项式，01( )cossin2nnkk kAT xAkxBkx使得，对一切，, x 。1( )L( )2nT xx综上所述，。( )( )( )( )( )( )nnf xT xf xL xL xT x4、上连续函数的三角多项式逼近上连续函数的

5、三角多项式逼近0, 设是上的连续函数，则对任意，存在以为周期的三角多项式函数，( )f x0, 02( )nT x使得，对任意，有0, x。( )( )nf xT x提示：先将函数延拓成上的连续的偶函数；再将延拓成以为周期的连( )f x, ( )f x2续的偶函数；最后，利用 2 的结论。5、闭区间上连续函数的三角多项式逼近、闭区间上连续函数的三角多项式逼近设是上的连续函数，则对任意，存在以为周期的三角多项式函数( )f x , a b02()ba，()nTxaba使得，对任意，有 , xa b。( )()nf xTxaba提示：首先，令，可得baxat( )()( )baf xf atF

6、t是的连续函数；0, 然后，利用 3 的结论。二、利用二、利用“一一”中得到的结论探索闭区间上连续函数的多项式逼近中得到的结论探索闭区间上连续函数的多项式逼近设是上的连续函数，则对任意，存在多项式函数，使得，对任意( )f x , a b0( )nP x，有 , xa b。( )( )nf xP x提示：首先，利用“一”中第 4 步的结论推出，对任意，存在三角多项式函数0，()mTxaba使得，对任意，有 , xa b；1( )()2mf xTxaba其次，对用泰勒定理，并注意到幂级数的内闭一致收敛性：()mTxaba“在处的泰勒级数在上一致收敛”()mTxaba0x 0n n na x , a b（注意注意：易见，在处的泰勒级数的收敛半径为，因此，它的()mTxaba0x 0n n na x收敛域为）(,) 推出任意，存在多项式函数，使得，对任意，有00( )n k nk kP xa x , xa b；1()( )2mnTxaP xba最后，综合上面的结论即可。