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1、第 1 页 共 21 页专题复习教案专题复习教案数列数列1 1、理解数列的概念,了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项2 2、理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和的公式,并能解决简单的实际问题3 3、理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并能解决简单的实际问题数列基础知识定义项,通项数列表示法数列分类等差数列等比数列定义通项公式前n项和公式性质特殊数列其他特殊数列求和数列纵观近几年高考试题,对数列的考查已从最低谷走出,估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小,等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前
2、n 项和公式的应用是必考内容,数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点从解题思想方法的规律着眼,主要有: 方程思想的应用,利用公式列方程(组),例如等差、等比数列中的“知三求二”问题; 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题; 待定系数法、分类讨论等方法的应用第第 1 1 课时课时 数列的概念数列的概念1 1数列的概念:数列是按一定的顺序排列的一列数,在函数意义下,数列是定义域为正整数 N*或其子集1,2,3,n的函数 f(n)数列的一般形式为 a1,a2,an,简记为an,其中 an是数列an基础过关基础过关知识网络知识网络高考导航高考导航第 2 页 共 21 页的第
3、 项2 2数列的通项公式一个数列an的 与 之间的函数关系,如果可用一个公式 anf(n)来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式3 3在数列an中,前 n 项和 Sn与通项 an的关系为:na 21nn an4 4求数列的通项公式的其它方法 公式法:等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法 观察归纳法:先观察哪些因素随项数 n 的变化而变化,哪些因素不变;初步归纳出公式,再取 n 的特珠值进行检验,最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明 递推关系法:先观察数列相邻项间的递推关系,将它们一般化,得到的数列普遍的递推关系,再通过代数方法由递推关系求出通项公式.例例 1.1. 根据
4、下面各数列的前 n 项的值,写出数列的一个通项公式 312 ,534 ,758 ,9716 ; 1,2,6,13,23,36,; 1,1,2,2,3,3,变式训练变式训练1 1.某数列an的前四项为 0,2,0,2,则以下各式: an221(1)n ann)( 11 an )(0)(2 为为为为为为 nn其中可作为an的通项公式的是( )AB典型例题典型例题第 3 页 共 21 页CD例例 2.2. 已知数列an的前 n 项和 Sn,求通项 Sn3n2 Snn23n1变式训练变式训练2 2:已知数列an的前 n 项的和 Sn满足关系式 lg(Sn1)n,(nN*),则数列an的通项公式为 例例
5、 3.3. 根据下面数列an的首项和递推关系,探求其通项公式 a11,an2an11 (n2) a11,an1 13 n na (n2) a11,an11 nann(n2)第 4 页 共 21 页变式训练变式训练3.3.已知数列an中,a11,an122 nn aa(nN*),求该数列的通项公式方法二:方法二:求出前 5 项,归纳猜想出 an12 n,然后用数学归纳证明例例 4 4. 已知函数)(xf2x2x,数列an满足)(log2naf2n,求数列an通项公式变式训练变式训练4.4.知数列an的首项 a15前 n 项和为 Sn且 Sn12Snn5(nN*) (1) 证明数列an1是等比数列
6、;(2) 令 f (x)a1xa2x2anxn,求函数 f (x)在点 x1 处导数 f 1 (1)1根据数列的前几项,写出它的一个通项公式,关键在于找出这些项与项数之间的关系,常用的方法有观察法、通项法,转化为特殊数列法等.2由 Sn求 an时,用公式 anSnSn1要注意 n2 这个条件,a1应由 a1S1来确定,最后看二者能否统一归纳小结归纳小结第 5 页 共 21 页3由递推公式求通项公式的常见形式有:an1anf(n), nn aa1f(n),an1panq,分别用累加法、累乘法、迭代法(或换元法) 第第 2 2 课时课时 等差数列等差数列1 1等差数列的定义: d(d 为常数) 2
7、 2等差数列的通项公式: ana1 d anam d3 3等差数列的前 n 项和公式:Sn 4 4等差中项:如果 a、b、c 成等差数列,则 b 叫做 a 与 c 的等差中项,即 b 5 5数列an是等差数列的两个充要条件是: 数列an的通项公式可写成 anpnq(p, qR) 数列an的前 n 项和公式可写成 Snan2bn (a, bR)6 6等差数列an的两个重要性质: m, n, p, qN*,若 mnpq,则 数列an的前 n 项和为 Sn,S2nSn,S3nS2n成 数列例例 1.1. 在等差数列an中,(1)已知 a1510,a4590,求 a60;(2)已知 S1284,S20
8、460,求 S28;(3)已知 a610,S55,求 a8和 S8典型例题典型例题基础过关基础过关第 6 页 共 21 页变式训练变式训练 1.1.在等差数列an中,a53,a62,则 a4a5a10 例例 2.2. 已知数列an满足 a12a,an2a 12naa(n2) 其中 a 是不为 0 的常数,令 bnaan1 求证:数列bn是等差数列 求数列an的通项公式变式训练变式训练2.2.已知公比为 3 的等比数列 nb与数列 na满足*,3Nnbna n,且11a,(1)判断 na是何种数列,并给出证明;(2)若11nnnaaC,求数列 nC的前 n 项和例例 3.3. 已知an为等差数列
9、,Sn为数列an的前 n 项和,已知 S77,S1575,Tn为数列nSn前 n 项和。求 Tn第 7 页 共 21 页变式训练变式训练3 3两等差数列an、bn的前 n 项和的比53 27nnSn Sn,则55a b的值是 ( )A28 17B48 25C53 27D23 15例例 4.4. 美国某公司给员工加工资有两个方案:一是每年年末加 1000 美元;二是每半年结束时加 300 美元问: 从第几年开始,第二种方案比第一种方案总共加的工资多? 如果在该公司干 10 年,问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元? 如果第二种方案中每半年加 300 美元改为每半年加 a 美元问 a
10、取何值时,总是选择第二种方案比第一种方案多加工资?变式训练变式训练 4 4.假设某市 2004 年新建住房 400 万平方米,其中有 250 万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)将首次不少于 4750 万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%?第 8 页 共 21 页1欲证an为等差数列,最常见的做法是证明:an1and(d 是一个与 n 无关的常数)
11、2a1,d 是等差数列的最关键的基本量,通常是先求出 a1,d,再求其他的量,但有时运算较繁3对等差数列an的最后若干项的求和,可以把数列各项的顺序颠倒,看成公差为d 的等差数列进行求和4遇到与等差数列有关的实际问题,须弄清是求项的问题还是求和的问题第第 3 3 课时课时 等比数列等比数列1 1等比数列的定义:)()(q(q 为不等于零的常数) 2 2等比数列的通项公式: ana1qn1 anamqnm 3 3等比数列的前 n 项和公式:Sn ) 1() 1( qq4 4等比中项:如果 a,b,c 成等比数列,那么 b 叫做 a 与 c 的等比中项,即 b2 (或 b ) 5 5等比数列an的
12、几个重要性质: m,n,p,qN*,若 mnpq,则 Sn是等比数列an的前 n 项和且 Sn0,则 Sn,S2nSn,S3nS2n成 数列 若等比数列an的前 n 项和 Sn满足Sn是等差数列,则an的公比 q 例例 1.1. 已知等比数列an中,a1an66,a2an1128,Sn126,求项数 n 和公比 q 的值典型例题典型例题基础过关基础过关归纳小结归纳小结第 9 页 共 21 页变式训练变式训练 1 1.已知等比数列an中,a1a964,a3a720,则 a11 例例 2.2. 设等比数列an的公比为 q(q0),它的前 n 项和为 40,前 2n 项和为 3280,且前 n 项中
13、数值最大项为 27,求数列的第 2n 项变式训练变式训练2 2.已知等比数列an前 n 项和 Sn2n1,an2前 n 项和为 Tn,求 Tn的表达式例例 3.3. 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是 12,求这四个数变式训练变式训练第 10 页 共 21 页3.3.设nS是等差数列 na的前n项和,6636,324,144(6)nnSSSn,则n等于( )A. 15 B. 16 C. 17 D. 18例例 4.4. 已知函数 f(x)(x1)2,数列an是公差为 d 的等差数列,数列bn是公比为 q 的等比数列(q
14、1),若 a1f(d1),a3f(d1),b1f(q1),b3f(q1),(1) 求数列an,bn的通项公式;(2) 设数列cn对任意的自然数 n 均有:1 2211) 1(n nnanbc bc bcL,求数列cn前 n 项和 Sn变式训练变式训练 4.4.已知等差数列an的首项 a11,公差 d0,且第二项,第五项,第十四项分别是等比数列bn的第二项,第三项,第四项求数列an与bn的通项公式;设数列cn对任意正整数 n,均有1 332211 n nnabc bc bc bc,求 c1c2c3c2007的值第 11 页 共 21 页1在等比数列的求和公式中,当公比 q1 时,适用公式 Snqqan 1)1 (1,且要注意 n 表示项数;当 q1时,适用公式 Snna1;若 q 的范围未