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1、初中二次函数最值应用题初中二次函数最值应用题一、概念一、概念1、二次函数在其定义域内取得最大值或最小值叫做二次函数的最值。2、在实数集上，根据顶点坐标公式知，对于一般形式的二次函数y=ax2+bx+c (a0)，当 x=b/2a 时，函数有最值 y=(4ac-b2)/4a。对于标准形式表达的二次函数 y=a(x-h)2+k，当 x=h 时，函数有最值 y=k。二、例题：二、例题：二次函数最值的应用1、已知二次函数 y=kx2+(k+2)x+9k 有最小值2，求 k 的值。解 由量意得：24)2(360 22kkkk解之得：k=72当 k=时，函数有最小值2。722、 当取何值时，代数式有最大值
2、？最大值是多少？x162 xx解 将函数的分母配方得：=y43)21(62x，故，从而Rx0)21(2x43 43)21(2x08，即 08，43)21(62xy故所求函数的值域为（0，8。3、 在ABC 中，A=,AB=AC=1,在 ABo90上取一点 D,作 DEBC,延长 ED 交 CA 的延长线于F，当 D 在什么位置时，DBE 和DAF 的面积之和为最小？最小面积多少？解 分为两大步。第一步建立二次函数：设 AD=x,由关系DBE 与DAF 的面积之和为 S 得出如下的函数关系式：S= ， （0x1）41 21 432xx第二步将 S= , （0x1）进行配方，得41 21 432x
3、xS=61 31 432 x（0，1 , 31当=时，S=是最小值。x31 61本例以形思数，体现了思维的深刻性，在解题过程中先用形之间的关系构建二次函数，再用二次函数最值概念解决问题。例 13 快艇和轮船分别从相距 108 公理的 A 和 C 两地同时开出，且沿着互相垂直的河道 AC 和 CD 匀速航行，已知快艇速度为 60 公理/小时，轮船的速度为 24 公理/小时，试问经过多少时间快艇和轮船之间的距离最短？解 设经过 t 小时后，快艇到达位置B，轮船到达位置 D。解决这个问题的关键在于把 BD 表示为时间 t 的函数关系式，进而求它何时有最小值。 在BCD 中,C=，BC=108-o9060t,CD=24t. 根据勾股定理，得EBD=22CDBC =222460108tt要使 BD 最短，只须使被开方数（108-60t）2+（24t）2有最小值。令 y=（108-60t）2+（24t）2=144（29t 2-90t+81）当 t=-=时，y 有最小值，此时 BD 最短。29290 2945答：经过小时，快艇和轮船之间的距离最短。2945本题是二次函数在实际生活中的应用，其关键在于构建数学模型，将现实生活中的数量关系用二次函数关系表示出来，然后进一步用二次函数最值概念加以解决。
