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1、形如形如函数的讨论函数的讨论( )( ,0)bf xaxa bx徐州市铜山县棠张中学徐州市铜山县棠张中学 张唯张唯关键词：函数；函数性质；对勾函数( )( ,0)bf xaxa bx内容摘要：讨论在不同取值下的函数性质( )( ,0)bf xaxa bx, a b形如的函数是中学数学考察的重点问题，当( )( ,0)bf xaxa bx取值变化时，会产生不同的函数类型，如常见的对勾函数即其中, a b一种情形，本文将详尽地讨论由于的取值不同带来的各种函数情, a b形,探索函数的实质,解决相关的各种问题.一一. .准备知识准备知识由于函数可以看作是两个函数( )( ,0)bf xaxa bx的
2、和式函数，有必要先讨论这两个函数的性质.(0),(0)byax aybx函数为正比例函数,定义域为,值域为,为定义域(0)yax aRR上的奇函数,当系数时,为上的单调增函数; 当系数R0a (,) 时,为上的单调减增函数.0a (,) 函数为反比例函数,定义域为,值域为(0)bybx(,0)(0,),为定义域上的奇函数, 当系数时,(,0)(0,)(,0)(0,)0b 为和上的单调减函数; 当系数时,为和(,0)(0,)0b (,0)上的单调增函数.(0,)二二. .研究过程研究过程易见函数定义域为,且为( )( ,0)bf xaxa bx(,0)(0,)上的奇函数.下面我们将讨论函数的(,
3、0)(0,)( )( ,0)bf xaxa bx单调性,并借此讨论函数的值域.（1 1） 0ab 为方便说明问题,我们首先引入一个命题.命题命题:若函数与函数在区间上具有相同的单调( )yf x( )yg xA性,则函数在区间上也具有相同的单调性.( )( )yf xg xA证明证明:不妨设函数与函数在区间上都是单调增( )yf x( )yg xA函数,则对任意,有.则1212,x xA xx1212()(), ()()f xf xg xg x,即在区间上为单调增函数.1122()()()()f xg xf xg x( )( )yf xg xA同理易证函数与函数在区间上都是单调减函数( )yf
4、 x( )yg xA的情形.#1o0,0ab由前面准备知识的讨论,当时,函数为两个0,0ab( )bf xaxx单调增函数的和，则也为单调增函数,单调增区间为( )bf xaxx和;值域为;由于或时, 有或(,0)(0,)Rx x 0b x ,则函数图像有渐近线,由于或时, 有0b x yax0x 0x 或,则函数图像有渐近b x b x 线(分别指无限接近 的负0x 0, 00数和正数);令,得,( )0f x bxa 即图像与 轴有两个交点x,结合奇函数图像关(,0),(,0)bb aa 于原点对称的特征,易得函数图像,以,如图:( )(0,0)bf xaxabx3( )2f xxx2o0
5、,0ab当时,可写成,令0,0ab( )bf xaxx( )()bf xaxx ,则,则函数的讨论同 ,由于( )bg xaxx 0,0ab ( )g x1o,则图像关于( )( )f xg x ( ), ( )f x g x轴对称,则在区间x( )bf xaxx和上单调减,其他性质(,0)(0,)同 .以为例:1o3( )2f xxx （2 2）0ab 1o0,0ab由于函数为奇函数，则只需研究上( )(0,0)bf xaxabx(0,)的图像特征就可得知上的图像特征.(,0)当时，根据基本不等式,由于0,0,(0,)abx，则在上当22bbaxaxabxx( )(0,0)bf xaxabx
6、(0,)时取最小值，即图像在上有最低点.下面bxa2 ab(0,)(,2)baba我们利用导数来研究函数在上的单调性.(0,)由,令,得,即在 2( )bfxax( )0fx bxa( )(0,0)bf xaxabx上单调增,令,得(,)b a( )0fx ,即在0bxa( )(0,0)bf xaxabx上单调减.同（1 1） 中的讨论, (0,)b a1o为函数图yax( )(0,0)bf xaxabx像的渐近线.以为例:1( )f xxx2o0,0ab当时,可0,0ab( )bf xaxx写成,令( )()bf xaxx ,则,则( )bg xaxx 0,0ab 函数的讨论同 ,由于( )
7、g x1o,则图像关于 轴对称,则可推出的图( )( )f xg x ( ), ( )f x g xx( )bf xaxx像特征.以为例:1( )f xxx 上述情况下, 由于图像特征,称为对勾函数.0ab ( )f x三三. .数学应用数学应用: :例：例：已知的定义域为，求的最小1( ),(0,11af xaxx1 3 , ,2 4( )f x值和相应的 的值.x分析分析: :1.1.(形式转化)函数的形式难于处理,考虑到两分式分母( )f x和为 ,则可做如下转化1, x x111( )(1)()111axaxf xxxaxxxx 2.2.(构建函数)尝试基本不等式,但取得最值时等号成立
8、条件难以寻找.构建对勾钩函数令,由于,则.则问题即转化为:求函数111xtxx1 3 , 2 4x1 ,13t其中的最小值.1( )1, ,13af tattt (0,1a3.(3.(答案求解) )据以上对勾函数的讨论,当时, 在单0a ( )f t(0,a调减, 单调减.显然需要对 的范围进行讨论.当时, ,)a a113a;当时, .#2 min( )()(1)f xfaa103amin14( )( )433f xfa注：注：若问题中 的取值范围改为.则问题即转化为: 求a(,0)a 函数其中的最小值.则据以上（1 1）1( )1, ,13af tattt (,0)a 讨论, 为上的单调增函数,则.0ab ( )f t1 ,13min14( )( )433f xfa四四. .结束语结束语: :本文系统地讨论了形如函数,从而帮助学生认( )( ,0)bf xaxa bx识清楚该类函数的本质,对学生解决实际问题有很大的帮助.
