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1、亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc高二数学高二数学直线与圆锥曲线的位置关系（二）直线与圆锥曲线的位置关系（二）人教版人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】一. 教学内容：直线与圆锥曲线的位置关系（二）（一）基本知识与方法：111142 122 122 12.|()弦长公式：（ ） ABkxxkxxx x12 12 kakABxxAB其中 为直线的斜率， ，为 、 两点的横坐标 | |()（2）焦点弦长公式：（用焦半径公式可推出）重点掌握抛物线焦点弦长公式：，|()ABxxpp120或为的倾斜角|sin()ABpAB222. 点差法（中点弦向题
2、中的整体运算）设弦端点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，将坐标分别代入曲线方程，然后两式相减，由平 方差公式可导出：AB 中点的坐标与 AB 的斜率的关系式，可由此进行相关运算或证明。【典型例题典型例题】例 1. 求顶点在原点，焦点在 x 轴上，且截得直线 l：2xy10 所得弦长为 15的抛物线方程解：解：设抛物线 ：Cyax a20()由得yaxxyxa x2 2 2104410 ()又设 与 交于，lCA xyB xy()()1122由 |()()ABaa15416012416 415222解之得：或a 124 ：或Cyxyx22412 例 2. 求双曲线 ：的斜率为 的平行弦的
3、中点轨迹方程Cxy22212解：解：设 ：lyxb2由yxbxyxbxb 22224202222令 02| | b又设 与 相交于，lCA xyB xy()()1122AB 中点为 M（x，y）亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc则xxxbyxbxyxb 12 2 22(| | | |)例 3. 设双曲线 ：与直线 ：交于 、 两点，求 的Cx ayalxyABC222101()离心率的取值范围。解：解：由得：x ayxyaxa xa222 2222111220 ()则1044 1202222 aaaa()()且 021aa于是且 且 ec
4、aa aaeaa1116 22 02122()例 4. 抛物线的一条弦被直线垂直平分， 为原点，求的yxPQxyOPQ22直线方程。解：解：设，中点，则：P xyQ xyPQM xy()()()1122yxyx yy xx yyy12 122 221211212 ，由此得：()()yyyyxxyyy21212112 21 2代入得，xyxM23 23 21 2()于是：即PQyxyx1 23 21例 5. 过抛物线的焦点 作倾斜角为的直线交一抛物线于 、 两yxFAB2445点。（1）求 AB 的中点 C 到抛物线准线的距离。（2）求线段 AB 的长。解：解：（1）F（1，0） ，准线：x1则
5、：，设，AByxA xyB xy11122()()由，则yxyxxxxx 14610622 12故中点 的横坐标Cxxx012 23亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc 点到准线的距离Cd 314()（2）45，2p4，AB 过焦点。|sinsinABp24 45822例 6. 已知抛物线 C 的顶点为 A，证明 C 所在平面内存在定点 M，使得过 M 的动直线 L 与 C 交于 P、Q 两点，且PAQ 恒为直角。证明：证明：设 ：，：，则：Cypx pAPykxAQykx2201()由及ypx ykxypxykx22 22 1 得，Pp k
6、p kQpkpk()()222222于是：PQypkp kpkp kpkxpk222222222()化简：()()122kyk xp直线恒过定点，PQMp()20【模拟试题模拟试题】1. 求直线被抛物线截得线段的中点坐标_。yx1yx242. 直线 L：过椭圆的左焦点 F1和一个顶点 B，则该椭圆的离心率为xy220_。3. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于 M、NF()70，yx1两点，MN 中点的横坐标为，求此双曲线方程。2 34. 过抛物线的焦点 F 用一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQyaxa20()的长分别是 p、q，则_。11 pq5. 若椭圆
7、C 与椭圆，关于直线对称，则 C 的方程为()()xy3 92 4122 xy 0_。6. 若直线 L 过抛物线的焦点，并且与 x 轴垂直，则 L 被抛物线截得的线yx241()亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc段长为_。7. 已知椭圆 C 的焦点分别为和，长轴长为 6，设直线F12 20()，F22 20()， 交 C 于 A、B 两点，求线段 AB 的中点坐标。yx 28. 设 A、B 是双曲线上的两点，点 N（1，2）是线段 AB 的中点。xy2221（1）求直线 AB 的方程。（2）若线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、D 两点，那么 A、B、C、D 四点是否 共圆？亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc【试题答案试题答案】1. （3，2）2. e 2 5 53. xy222514. 4a5. ()()xy2 43 91226. 47. ()9 51 5，8. ( ) 11yx（2）A、B、C、D 到点 M 的距离都为，2 10共圆。
