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1、1重复测量的方差分析重复测量的方差分析 (Repeated-measures(Repeated-measures ANOVA)ANOVA) 重复测量的方差分析的逻辑重复测量的方差分析的逻辑重复测量的方差分析的符号重复测量的方差分析的符号用重复测量的方差分析进行假设检验用重复测量的方差分析进行假设检验重复测量设计的优势重复测量设计的优势重复测量的方差分析的统计前提重复测量的方差分析的统计前提研究情境研究情境: : 练习成绩 被试练习前 一月后二月后三月后 A33612 B2226 C1146 D24612重复测量的重复测量的 ANOVAANOVA 能够处理数据的类型能够处理数据的类型： 在上例中
2、有一个自变量在上例中有一个自变量 ( (称为组内因素称为组内因素):): 时间时间. . ANOVAANOVA 亦可用于分析同时包含组间和组内因素的混合设计亦可用于分析同时包含组间和组内因素的混合设计 1.1. ANOVAANOVA 的逻辑的逻辑 ANOVAANOVA 非常类似非常类似 两个相关样本的两个相关样本的 t t 检验检验 对于对于 ANOVAANOVA 检验统计量检验统计量 ( (称为称为 F F 比率比率) ) 类似类似 F F = = 样本均值间方差样本均值间方差 误差方差误差方差和方的分解分两个阶段和方的分解分两个阶段首先考虑方差的来源首先考虑方差的来源. . a)a) 处理
3、间变异处理间变异 i.i.处理效应处理效应 - - 处理造成的差异处理造成的差异 ii.ii.实验误差实验误差 b)b) 处理内变异处理内变异 i.i.被试间方差被试间方差 ii.ii.实验误差实验误差F F 比率比率 可以表达为可以表达为: : F F 比率比率 = =处理效应方差处理效应方差+ +实验误差实验误差 实验误差实验误差2.2. 重复测量重复测量 ANOVAANOVA 的专用符号的专用符号 K K = = 处理条件处理条件( (或组或组) )的数目的数目2n n = = 每一个组的数目每一个组的数目( (如果它们相等如果它们相等) ) N N = = n ni i = = 总的观
4、察数目总的观察数目 T Ti i = = X Xijij G G = = X Xijij = =总的和总的和 G-barG-bar = = G G / / N N = = 总的均值总的均值 SSSSi i = = 每一个组的和方每一个组的和方 = = (X(Xijij - - i i) )2 2 P P = = 每一个被试的观察数目每一个被试的观察数目 在上例中：在上例中：练习次数 被试1 次2 次3 次p A33612 B2226 C1146 D24612T1 = 8T2 = 20 T3 =18SS1 = 2SS2 =5SS3 =11 X X2 2 = = 140140 G G = = 36
5、36 K K = = 3 3， n=4n=4， N=12N=123.3. 和方的分解步骤和方的分解步骤 第第 1 1 阶段：阶段：SSSS和和 = = SSSS组间组间 + + SSSS组内组内 SSSS和和 = = X X2 2 - - (G(G2 2/N)/N) SSSS和和 = = 140140 - - (36(362 2/12)/12) =140=140 - - 108108 = = 3232 需要将其分解为组间变异和组内变异需要将其分解为组间变异和组内变异. . SSSS组间组间 = = (T(T2 2/n/ni i) ) - - G G2 2/N/N = = 8 82 2/4/4
6、+ + 20202 2/4/4 + + 18182 2/4/4108108 = = 1414 SSSS组内 = = SSSS 每一个每一个 处理内部处理内部 = = SSSSi i = = 2 2 + + 5 5 + + 1111 = = 1818 第第 2 2 阶段：阶段：SSSS组内组内 = = SSSS被试间被试间 + + SSSS误差误差 SSSS被试间被试间= = (P(P2 2/k)/k) - - G G2 2/N/N = = 12122 2/3/3 + + 6 62 2/3/3 + + 6 62 2/3/3 + + 12122 2/3/3108108 = = 1212 SSSS误
7、差误差 = = SSSS组内组内-SS-SS被试间被试间 = 18-12=618-12=64.4. 自由度自由度 共有共有 5 5 个个 自由度自由度, , 2 2 个计算均方时要用到个计算均方时要用到1 1）总的总的 dfdf = = N-1N-12 2）组间方差组间方差 dfdf = = k-1k-13 3）组内方差组内方差 dfdf = = N-kN-k4 4）被试间方差被试间方差 dfdf = = n-1n-15 5）误差方差误差方差 dfdf = = （N-kN-k） - -（n-1n-1）3均方和均方和 F F 值的计算值的计算. . MSMS = = SS/dfSS/df MSM
8、S组间= = SSSS组间/df/df组间 上例中上例中 = = 14/214/2 = = 7 7 MSMS误差误差 = = SSSS误差误差/df/df误差误差 上例中上例中 = = 6/66/6 = = 1 1 F F 比率比率 = = 处理间方差处理间方差 误差方差误差方差 将结果总结到方差分析表中：将结果总结到方差分析表中：来源来源SSdfMS 处理间处理间14142 27 7F F = = 7 7 处理内处理内189 被试内被试内123 误差误差661 总的总的32321111 查查 F F 表表 确定确定 FcritFcrit 对假设作出结论对假设作出结论 dfdf组间组间 = =
9、 分子的分子的 dfdf dfdf组内组内 = = 分母的分母的 dfdf ( (误差误差) ) 上例中上例中: : dfdf误差误差 = = 6;6; dfdf组间 = = 3 3 假设中选择假设中选择 = = .05,.05, FcritFcrit = = 4.764.76 （如果选择（如果选择 = = .01,.01, FcritFcrit = = 9.789.78） F F 比率的观测值比率的观测值 6 6 大于大于 F F.05.05.,., 所以拒绝所以拒绝 H H0 0 ( ( 1 1 = = 2 2 = = 3 3).). 报告结果报告结果 F(dfF(df组间组间,df,df
10、误差误差) ) = = Fobs,Fobs, p p ? ?各练习次数的均值和标准差列在表各练习次数的均值和标准差列在表 1 1 中。重复测量的方差分析中。重复测量的方差分析 发现练习次数有显著的效应发现练习次数有显著的效应, , F(2,6)F(2,6) = = 6,6, p p 0.05.0.05.第 1 次 第 2 次第 3 次第 4 次MSD5.5. 事后检验（事后检验（PostPost hochoc teststests）目的是控制实验导致误差目的是控制实验导致误差. . TukeysTukeys HSDHSD 检验和检验和 ScheffScheff 检验都适用于重复测量的方差分析检
11、验都适用于重复测量的方差分析. . 用误差的和方，自由度，用误差的和方，自由度， 均方代替原来分母项的组内均方代替原来分母项的组内6.6. 重复测量的方差分析的统计前提重复测量的方差分析的统计前提1 1）每个处理条件内的观察都是独立的每个处理条件内的观察都是独立的 2 2）每个处理条件内的总体分布是正态分布每个处理条件内的总体分布是正态分布 3 3）每个处理条件间的方差同质每个处理条件间的方差同质46.6. 重复测量设计的优势重复测量设计的优势 1 1）用较少被试，经济用较少被试，经济 2 2）把个体差异项消除把个体差异项消除 当个体差异大时，这个优势更明显当个体差异大时，这个优势更明显 如：
12、如： 处理效应处理效应 = = 1010 个方差单位个方差单位 个体差异个体差异 = = 10001000 个方差单位个方差单位 误差误差 = = 1 1 个方差单位个方差单位 F F 独立独立 = = 1.011.01 F F 重复重复 = = 1010例例 2 2处理处理被试被试训练前训练前 训练后训练后 1 1 周周训练后训练后 1 1 月月训练后训练后 6 6 月月p pA A8 82 21 11 11212B B4 41 11 10 06 6C C6 62 20 02 21010D D8 83 34 41 11616T1=26T1=26T2=8T2=8T3=6T3=6T4=4T4=4SS1=11SS1=11SS2=2SS2=2SS3=9SS3=9SS4=2SS4=2n=4n=4 k=4k=4 N=16N=16 G=44G=44 XX2 2=222=222
