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1、 （必修五）解三角形（必修五）解三角形1.1. 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： 正弦定理:或变形：.2sinsinsinabcRABC: :sin:sin:sina b cABC（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）两内角与其正弦值：在ABC 中，BABAsinsin2.2. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： 2余弦定理： 或.2222222222cos2cos2cosabcbcAbac
2、acBcbabaC 222222222cos2cos2cos2bcaAbc acbBac bacCab （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角注意：注意：正、余弦定理的实质是方程，因此在应用的过程中要留意方程思想；三角形可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解；类型一：解三角形类型一：解三角形在锐角ABC中，1,2 ,BCBA则cosAC A的值等于 ，AC的取值范围_ 解析: 设,2 .AB由正弦定理得,12.sin2sin2coscosACBCACAC 由锐角ABC得0290045oooo，又01803903
3、060ooooo，故233045cos22oo，2cos( 2, 3).AC1在ABC 中，A=30，求的值3, 1bac解析： 举一反三：举一反三：变式 1：在ABC 中，已知，B=45，求 C 和2, 1bca变式 2：已知ABC 中，, A=2B，求角 B 及边.3a1bc变式 3：在ABC 中，求的值.o45, 2Aa32sinBc类型二：已知三角形面积解三角形类型二：已知三角形面积解三角形1在ABC 中，求。0120 ,21,3ABCAcb aSVcb,变式 1若在ABC 中，则=_。060 ,1,3,ABCAbSCBAcba sinsinsin变式 2.已知三角形的一个角为 60，
4、面积为，周长为，求此三角形的各2310cmcm20边长.类型三：判定三角形的形状类型三：判定三角形的形状三角形的形状的判定三角形的形状的判定（1）根据所给条件确定三角形的形状，常用正弦（余弦）定理实施边角转化，主要有两种途径：化边为角； 化角为边。（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理正余弦定理实现边角转化边角转化，统一成边的形式或角统一成边的形式或角的形式.（3）解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换ABCABC的运算，如： sin()sin,ABCcos()cos,ABC tan()tan,ABC .sincos,cossin,tancot222222ABCABCABC1
5、.在ABC 中，若 2cosBsinAsinC，则ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形2在ABC 中，bcosAacosB ，则三角形的形状为 （ ）A直角三角形 B锐角三角形 C等腰三角形 D等边三角形3在ABC 中，若则ABC 的形状_,coscoscosCcBbAa4.在ABC 中，若，且 B 为锐角，判定ABC 的形状。2lgsinlglglgBca变式：在ABC 中，若，则ABC 的形状是（ ）2lgsinlgcoslgsinlgCBAA直角三角形 B等边三角形 C不能确定 D等腰三角形 类型四：证明三角形中的三角恒等式类型四：
6、证明三角形中的三角恒等式例：已知ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为，求证：.cba,BcCbacoscos思路点拨：思路点拨：恒等式的证明实际上就是化繁为简，可以化角为边，也可以化边为角.解析：法一：解析：法一：利用余弦定理右=左，.法二：法二：利用正弦定理右=左，.举一反三：举一反三：1在ABC 中，求证：)coscos(aA bBcab ba2在ABC 中，若，则求证：223coscos222CAbac2acb3ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别是，如果 a2=b（b+c） ，求证：A=2Bcba,解三角形综合练习解三角形综合练习1.在ABC 中，若ABC=123,则 abc
7、 等于（ ）A.123 B.321 C.21 D.12332在ABC 中，A，B 的对边分别为 a,b，且A=60，那么满足条4,6ba件的ABC（ ）A. 有一个 B. 有两个 C. 不存在 D. 不能确定个数3.已知ABC中，CBA,的对边分别为, ,a b c若62ac且75Ao，则b ( )A.2 B.42 3 C.42 3 D.624在ABC 中，A=60，AC=16,其面积，则 BC 长为（ ）3220SA B75 C51 D496205.ABC 中，则ABC 的周长为（ ）,3,3ABCA B.4 3sin()33B4 3sin()36BC D6sin()33B6sin()36B
8、6设 A 是ABC 中的最小角，且，则实数 a 的取值范围是（ ）11cosaaAA. a3 B. a1 C. 1a3 D. a07. 已知三角形的三边长分别为、，则三角形的最大内角是( )ab22baba90.60.120.135.DCBA8边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）5,7,8A B C D 0900120013501509. 在中，已知，则_ABC4:5:6sin:sin:sinCBAcosA 10. 三角形的一边长为 14，这条边所对的角为，另两边之比为 8 : 5 ，则这个三角形o60的面积为_求三角形的边（角）问题求三角形的边（角）问题（1）可利用正余弦定理正余弦定理
9、实现边角转化边角转化，统一成边的形式或角统一成边的形式或角的形式. （2）解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换ABCABC的运算，如： sin()sin,ABCcos()cos,ABC tan()tan,ABC 1在ABC 中，已知，求角 Acbc BABA tantantantan2在ABC 中，设求的值。,3,2CAbcaBsin3.在ABC 中，内角 A、B、C 对边的边长分别是，已知cba,3, 2Cc（1）若ABC 的面积等于，求；（2）若，求ABC3,baAABC2sin2)sin(sin的面积4.在中，是三角形的三内角，是三内角对应的三边，已知ABCABC、ab
10、c、222bcabc（1）求角的大小； （2）若，求角的大小A222sinsinsinABCB5.已知 A、B、C 是三内角，向量，且。 （1）ABC)3, 1(m)sin,(cosAAn 1. nm求角 A；（2）若221 sin23,cossinB BB 求t anC 。6.在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为，若 （1）求cba,证：A=B； （2）求边长的值； （3）若，求ABC 的面积c6CABArr在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，且满足2 5cos25A，3AB ACuuu r uuu r （I）求ABC的面积； （II）若6bc，求a的值解三角
11、形的应用解三角形的应用求解三角形应用题的一般步骤：求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。1.在奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成 15方向把球击出，根据经验，通常情况下，球速为游击手最大跑速的 4 倍，问按这样布置，游击手能否接着球？2.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以的速度从处出发沿北偏东的方向航行，hkm/40A60进行海面巡逻，当行驶半小时到达处，发现在北偏西的方向上有一艘船，船位B45CC于处北偏东的方向上，求缉私艇与船的距离。A30BC
