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1、一、摘要 本模型采用改进的层次分析法，用概率的知识以及基于灰色关联度分析评价指标的确 定来建立模型，来说明该评选论文方法的公平性。 在建模过程中，把专家评委的侧重点分别放在假设、建模、结论、表述的好坏，再加 上组长和普通评委的决策判断影响，使问题变得简单和清晰。运用改造后的层次分析法把 选取优秀论文的方案进行诠释，建立的判断矩阵和计算出的组合权向量都通过了一致性检 验。说明此方案具有很大程度的公平性，表明该方案可以用来进行优秀论文的评选工作。 每个评委的投票权重最优化应该是组长是 0.3857，侧重假设、建模、结论、表述的专 家评委分别是 0.1313，0.1313，0.2320，0.0747
2、，5 个普通评委之和是 0.0747，即每个普通 评委是 0.0150.权重洗舒服和常规判断。 关键词：层次分析法、灰色关联度、判断矩阵一致性检验 二、问题重述 某次数学建模比赛后，组委会要在一道题目的 150 篇参赛论文中选择 4 篇论文作为 特等奖论文。评审小组由 10 名评委组成，包括一名小组组长(出题人)，4 名专业评委(专 门从事与题目相关问题研究的评委)，5 名普通评委(从事数学建模的教学和组织工作，参 与过数学建模论文的评审)。由于评委是不同层次的，故组委会制定的如下评审步骤：step1:首先由普通评委阅读所有 150 篇论文，筛选出 20 篇作为候选论文。Step2:然后由小组
3、内的所有评委阅读这些候选论文，每人选择 4 篇作为推荐的论文。Step3:接着进入讨论阶段，在讨论阶段中每个评委对自己选择的 4 篇论文给出理由， 大家进行讨论，每个评委对论文的认识都会受到其他评委观点的影响。Step4:在充分讨论后，大家对这些推荐的论文进行投票，每个评委可以投出 4 票，获 得至少 6 票的论文可以直接入选，如果入选的论文不足，对剩余的论文(从 20 篇候选论文 中除去已经入选的论文)重复 step2 至 step4 步的评审工作。如果三轮讨论后入选的论文 仍然不够，则由评选小组组长确定剩下名额的归属。如果有超过 4 篇的论文获得了至少 6 票，则由评选小组组长确定最终的名
4、额归属。问 题:1、请建立数学模型定量地讨论上面的评审规则的公平性。 2、假设小组组长、专业评委、普通评委受超过半数人的观点影响的概率分别为 0.3，0.4，0.6。组委会希望给每个评委的投票设置一定的权重，应该如何设置才最合理， 用数学模型支持你的观点。 三、模型假设 假设 1.每个评委都能以客观的态度评价每篇论文；2.评委之间的利益基本上是一致的；3.评委之间肯呢个存在认识上的不同；4.假设普通评委之间具有相同的权重系数，而 4 个专家评委各有各的侧重点，分别 为假设、建模、论文、表述的好坏。这 4 个因素之间的重要性的判断是专家评委之间相互 影响的系数的判断的依据。四、符号说明A 为组长
5、的评价影响力参数B1、B2、B3、B4 分别为建设、建模、结论、表述的好坏（即 4 个专家的侧重 点）C：普通评委评价影响 Vi：特征向量Pi：数组参数max：最大特征值五、模型的建立和求解 一灰色关联度分析1中的评价指标确定的原则1.全面性原则：即所选的指标要能涵盖反映论文整体水平的各个因素，并且在保证评 价目标可以实现的条件下，尽量简化指标体系。2.科学性原则：指标体系的设计要力求科学，准确的反映各篇论文的整体水平。3.系统性原则：指标体系必须层次结构合理，协调统一，在比较全面反映论文的基本 状况的同时，还要能为论文间的整体综合评价提供必要的数据。4.可行性与可操作性原则：即设计的指标应具
6、有可采集性和可量化的特点，各项指标 应该能够有效测量或统计。二判断矩阵及权重的确定 2.1 建立层次结构模型评审模型的目标层是要从 150 篇论文中选取 4 篇优秀论文作为特等奖， 而其准侧层则是不同水平的专家对论文的评选，经过所有评委推荐之后，入选 的论文书存在 17 种情况：4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20。如果是 4 篇就不再做投票决定。如果是 5 篇或 5 篇以上按步骤就行筛选。为了简化计算 过程，综合考虑各种因素，我们对于方案层建立 6 组数据，建立相应的判断矩 阵。 目标层：选择 4 篇论文作为特等奖论文准则层： 小组 组长
7、评价 影响 力参 数 A假设 的合 理性 B1 （即 专家 评委 1 的侧 重建模 的创 造性 B2 （即 专家 评委 2 的侧 重）结果 的正 确性 B3（ 即专 家评 委 3 的侧 重）表述 的清 晰性 B4 （即 专家 评委 4 的侧 重）普通 评委 评价 影响 力参 数 C方案层： 4篇5篇6篇7篇8篇9篇10篇11篇12篇13篇14篇15篇16篇17篇18篇19篇20篇2.2 构造判断矩阵2。 利用所建立的层次结构,可以构造一系列的判断矩阵。判断矩阵的构造可采 用专家调查法。采用表 1 所示的标度方法3对判断矩阵赋值。通过两两比较,对 同层次指标之间相对上层次某因素的重要性进行评定。
8、1-9 标度法标度第 i 指标与第 j 指标的比较结 果说明1Bi 与 Bj 同样重要两者对目标具有同 样重要性 3Bi 比 Bj 较重要两者间判断差异轻 微 5Bi 比 Bj 很重要两者间判断差异明 显 7Bi 比 Bj 非常重要两者间判断差异强 烈 9Bi 比 Bj 极重要两者间判断差异极 端(最大限度) 2,4,6,8重要性在上述表述之间需要折衷时采用 注:上述各值的 Bi 与 Bj 比较得判断 bij,则 Bj 与 Bi 比较得倒数,即判断 bji=1/bij。确定 B 类别四种因素的权重4比较标准：我们认定 B1 为 2，B2 为 2，B3 为 1，B4 为 1 在综合考虑小组组长、
9、专业评委、普通评委受超过半数人的观点影响的概 率分别为 0.3，0.4，0.6。为下面的判断矩证的建立提供依据。 2.3 对每一个判断矩阵做一致性检验 定义一致性指标：（ 是互反矩阵的最大特征值） 。CR=CI/RI,CI 为判断 一般一致性的指标且 CI=（max-n）/(n-1),n 为判断矩阵的阶数;RI 为判断矩阵的 平均一致性指标。平均一致性指标如下：n123456789RI000.580.961.121.241.32.1.411.45如果 CRpi=i+1; x(:,i)=A*y(:,i-1);m(i)=max(x(:,i);y(:,i)=x(:,i)/m(i);k=abs(m(i)-m(i-1); end a=sum(y(:,i); w=y(:,i)/a; t=m(i); disp(w);disp(t); %以下是一致性检验 CI=(t-n)/(n-1);RI=0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59; CR=CI/RI(n); if CR0.10disp(此矩阵的一致性可以接受!);disp(CI=);disp(CI);disp(CR=);disp(CR); end
