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1、 2010 届高三届高三 A 班测试（班测试（1）高等背景下初等问题的解法探究1.函数的零点有（ A ）3)2ln() 1()(xxxxfA0 个 B1 个 C2 个 D 3 个2若，则下列命题中正确的是（D ）02x3sinxx3sinxx2 24sinxx2 24sinxx3.给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则)(xfD)(xf)(xfD称在 D 上存在二阶导数，记，若在上恒成立，则称)(xf )()(xfxf0)( xfD在上为凸函数，以下四个函数在）上不是凸函数的是 D)(xfD2, 0(A B. D.xxxfcossin)(xxxf2ln)(12)(.3xxxf
2、Cxxexf)(4.定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个不同的实数，均有kD21,xx成立，则称函数在定义域 上满足利普希茨条件。对| )()(|2121xxkxfxf)(xfD于函数满足利普希茨条件，则常数的最小值是 Cxxf)() 1( xkA2 B.1 C. D.21 315已知二次函数的值域是,那么的最小值是 B2( )2f xaxxc0,)2211caacA. B. C. D.121236. 设是定义在上的奇函数，且当时，若对任意的( )f xR0x2( )f xx，不等式恒成立，则实数 的取值范围是 A2xtt，()2 ( )f xtf xtABCD2，2 ，0 2，2123
3、U，7.函数满足=，又，则函数的解析)(xf)(yxf)()()(yxxyyfxf1)0(f)(xf式为 xxxf3 31)(8已知函数.对于下列命题: ) 22)(1(sin)(22xxxxxf函数是周期函数;)(xf函数既有最大值又有最小值;)(xf函数的定义域是 R,且其图象有对称轴;)(xf对于任意,函数的导函数.) 0 , 1(x)(xf0)( xf其中真命题的序号是 .（填写出所有真命题的序号）9.已知函数，.xeaxxf2)(Rxa , 0（I）讨论的单调性.)(xf（II）当时，讨论关于的方程的实根的个数.0ax0)( axfe解：（I）依题， （1 1 分）分）2( )(2
4、)xfxaexx令，即：. （2 2 分）分）( )0fx2(2 )0axx易知，当时，在上单调递增， （4 4 分）分）0a)(xf0,2在和上单调递减. （6 6 分）分）(,0)(2,)当时，在和上单调递增， （7 7 分）分）0a )(xf(,0)(2,)在上单调递减. （8 8 分）分）0,2（II）由（I）知当时，0a极小，极大（9 9 分）分）)(xf(0)0f)(xf24(2)afe又当或时，0x 0x ( )0f x 可见的图象如下： （1010 分）分）)(xf而方程，0)( axfe转化为 （1111 分）分）22( )af xe可见，当时，即时，原方程有一解.2224a
5、a ee4a 同理： 时，原方程有两解.4a 时，原方程有三解. （1212 分）分）04a 10.阅读下列定义：定义 1：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称)(xfD)(xf)(xfD在 D 上存在二阶导数，记.)(xf )()(xfxf定义 2：函数在 D 上的二阶导数恒正，在上恒成立，则称在上为凹函0)( xfD)(xfD数，（1）判断在区间上是否为凹函数？说明理由；123)(23xxxf),21（2）求证：对任意，函数都有),21(,21xx123)(23xxxf成立.)()(21)2(2121xfxfxxf（3）结合（1）、（2）的结论，请你归纳出区间 D 上的凹函数的
6、一个性质： Oyx224a ex22a ex应用该性质证明：对正项等差数列总有na)(2111n nn nn naaa（1），36)(,33)(“2xxfxxxfQ21xQ0)(“xf是凹函数。)(xf（2）作差(过程略) （3）若函数在区间 D 上为为凹函数 ，则对任意的，总有)(xf21,xxD成立。)()(21)2(2121xfxfxxf构造函数，则，。从而函数在)2()(nxxfn1)(nnxxf2“) 1()(nxnnxf)(xf上为凹函数。因为是正项等差数列，所以，于是 由凹函数性质Dna)(2111nnnaaa得即。),()(21)2(1111 nnnnafafaaf)(2111
7、n nn nn naaa11.已知函数)(,0,) 1ln()(xfxaxxxf函数时当 取到极大值。（1）求实数 a 的值；（2）已知)()()()()(,), 1(,11 2121 2121xfxxxxxfxfxgxxxx构造函数且；求证：对任意);()(),(21xgxfxxx都有（3）已知正数),2,( 1,2121nNnnnLL满足求证：当nxxxnNn,1,2,21L且互不相等的实数对任意大于时都有).()()()(22112211nnnnxfxfxfxxxfLL（I）1( ).(0)0.1,( )11xfxmfmfxxx 由得此时( 1,0( )0,( )( 1,0)(0,)(
8、)0( )0( )0xfxf xxfxf xf xxm 当）时函数在区间上单调递增；当时，函数在区间（，）上单调递减函数在处取得极大值，故=-1（）令12 11 12()()( )( )( )( )()()f xf xh xf xg xf xxxf xxx，12121212 12 1211()()( )( )( )( ,)()()( ,)()111( )1,( )( )()111(1)(1)( ,), ( )0, ( )( )()0(,ooo o oooof xf xh xfxxxf xxx xf xf xxx xfxxxx xfxh xfxfxxxxxxxx xh xh xh xh xxxx
9、 QQQQ则函数在上可导，存在，使得当时单调递增，当2212)( )0, ( ), ( )()0( ,),( )( )h xh xh xh xxx xf xg x时，单调递减故对任意都有（）用数学归纳法证明12121 1221212 1221 12211122 1221222221,0,9.( ,)( )( ),()()()()()()2(2)1()(kkknxxx xf xg xf xf xfxxxxxf xf xf xxxnnk kfxxxf xQ111当时，且，由（）得即(当时，结论成立假设当时结论成立，即当时，）211211 121112().11,1.1kkkkk kkkkf xnk
10、mmm m 1当时，设正数，满足令则且1 122111 1111 11111111111() ()()()()()()()()()()12,kkkkkkkkkkkkkkkkkkkfxxxxf mxxf xmfxxf xmf xmf xf xf xf xf xnknnNk +当时，结论也成立。综上由，对任意结论恒成立。12.如右图（1）所示，定义在区间上的函数，如果满 D)(xf足：对，常数 A，都有成立，则称函数 xD ( )f xA在区间上有下界，其中称为函数的下界. （提示：图(1)、（2）中的常数、( )f xDAA可以是正数，也可以是负数或零）B（）试判断函数在上是否有下界？并说明理由
11、；348( )f xxx(0,)（）又如具有右图（2）特征的函数称为在区间上有上界. D 请你类比函数有下界的定义，给出函数在区间上( )f xD有上界的定义，并判断（）中的函数在上是否(,0)有上界？并说明理由； （）若函数在区间上既有上界又有下界，则称函数( )f xD在区间上有界，函数叫做有界函数试探究函数 （( )f xD( )f x3( )bf xaxx是常数）是否是（、是常数）上的有 0,a 0b , a b , m n0,0,mnmn界函数？（I）解法 1：，由得，2 248( )3fxxx( )0fx2 24830xx， ，416,x (0,)x2x 当时，函数在（0，2）上是
12、减函数；02x( )0fx )(xf当时，函数在（2，）上是增函数； 2x ( )0fx )(xf是函数的在区间（0，）上的最小值点，2x min48( )(2)8322f xf对，都有， (0,)x ( )32f x 即在区间（0，）上存在常数 A=32,使得对都有成立，(0,)x ( )f xA函数在（0，）上有下界. 348( )f xxx解法解法 2 2：0x Q33344816161616 16 16( )432f xxxxxxxxxxx当且仅当即时“”成立316xx2x 对，都有，(0,)x ( )32f x 即在区间（0，）上存在常数 A=32,使得对都有成立，(0,)x ( )
13、f xA函数在（0，）上有下界.348( )f xxx（II）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：定义在 D 上的函数，如果满足：对，常数 B，都有B 成立，则)(xfxD ( )f x称函数在 D 上有上界，其中 B 称为函数的上界. )(xf设则，由（1）知，对，都有，0,x 0x (0,)x ( )32f x ，函数为奇函数，()32fx348( )f xxx()( )fxf x ，( )32f x( )32f x 即存在常数 B=32，对，都有,(,0)x ( )f xB函数在（， 0）上有上界. 348( )f xxx（III），2 2( )3bfxaxx由得，( )0fx2 230baxx0,0ab ， ， 4,3bxa , (0,)m n 4 3b
