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1、习题习题18.1 一维周期势场中电子的波函数一维周期势场中电子的波函数k( (x) 应当满足布洛 赫定理。若晶格常数时) 应当满足布洛 赫定理。若晶格常数时a，电子的波函数为：，电子的波函数为：3(1)( )sin(2)( )cos(3)( )()(4)( )( 1)()kkk ll k lxxxxiaaxf xlaxf xla=其中其中f( (x la) 是个确定的函数。试求布洛赫电子在这些 状态的简约波矢。) 是个确定的函数。试求布洛赫电子在这些 状态的简约波矢。4.3 电子周期场的势能函数为电子周期场的势能函数为2221(),( )2 0,(1)mbxnanabxnabV x nabxn
2、ab+= +当当其中其中 a = =4b，为常数，为常数（1）试画出此势能曲线，并求其平均值。）试画出此势能曲线，并求其平均值。（2）用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个 带隙宽度。）用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个 带隙宽度。势能曲线势能曲线011( )L ikxikxVeV xe dxLL=势能的平均值：势能的平均值：222111() 2na b ikxikxna bVNembxnae dxLL+ =222() 2na bna bNVmbxnadxL+=xnaLNa=令 ，2 22221296bbaVmbdma+=20011( )( )( )ninaaiKaV neVd
3、eVdaa=()2221,( )2 0mbbbV x bb += + 当,当将将代入代入2 22222 2211( )()2()2inba binba bV nembda mebda+=22 22 1()2iba bmVebda+=42 22 2()2iba bmVebda+=112gEV=晶体的第一个禁带宽度：晶体的第一个禁带宽度：222gEV=晶体的第二个禁带宽度：晶体的第二个禁带宽度：例题例题4.12 设有二维正方晶格，晶体势场为 设有二维正方晶格，晶体势场为 22( , )4coscosU x yUxyaa= 用近自由电子近似的微扰论，近似求出布里渊区顶角用近自由电子近似的微扰论，近似
4、求出布里渊区顶角,a a 处的能隙。处的能隙。()()()()22222222,2222( , )2coscosix yix yix yix yaaaaaaaaU x yUxyxyaaaaU eeee= += + 解解:因此只有因此只有 22222222,aaaaaaaa这四个倒格矢的傅氏展开系数为这四个倒格矢的傅氏展开系数为U, 其余的傅氏展开系数为其余的傅氏展开系数为0。因为。因为, 在布里渊区顶处，自由电子能量是四重简并的在布里渊区顶处，自由电子能量是四重简并的,ka a =0123()0(,)2 22220,(0,),(,0),(,),n nKKkka aKKKKaaaa =i相应的傅
5、氏展开系数为相应的傅氏展开系数为: 0,0,0,U。它们相应的零级能量都相等。它们相应的零级能量都相等。()1( )()mi k Kr km mra KeN+=i波函数展开式为波函数展开式为波函数中除了含有的项外，其它 项都可忽略，波函数可近似为波函数中除了含有的项外，其它 项都可忽略，波函数可近似为123(0), (), (), ()aa Ka Ka K123()() 12() 31( ) (0)()()()i k Kri k Krik r ki k Krraea K ea K eN a K e+=+ +iiii0( )( )( )kkkHrHrEr+=薛定谔方程薛定谔方程012300 01
6、000 2030()()()()()()()0KKKKa EEUa KEEUa KEEUa KEEU+=分别以左乘方程，对分别以左乘方程，对x积分积分, 可得可得01230*0*0*0*,KKKK0102031012132021233031320123012310231203() (0)()()()0(0)() ()()()0(0)()() ()()0(0)()()() ()0KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKEE aUa KUa KUa KUaEE a KUa KUa KUaUa KEE a KUa KUaUa KUa KEE a K+=+=+=+=123(0), (), ()
7、, ()aa Ka Ka K由的系数行列式等于012311213221233313200000KKKKKKKKKKKKKKKKKKEEUUUUEEUUUUEEUUUUEE =000000 0000000EEU EEU UEEUEE =()44 00EEU=E E 的四个根为：的四个根为：0000,EUEUEUEU+因此能隙为因此能隙为2U例题例题15.1 某种简单立方结构晶体，按近自由电子近似求得 电子的费米能为：某种简单立方结构晶体，按近自由电子近似求得 电子的费米能为：EF= EK/2 |UK|+此处此处K = 2 /a (1,0,0)，EK/2为为K/2 点自由电子的能量，点自由电子的能
8、量，UK为 对应为 对应K 的傅立叶系数。证明：的傅立叶系数。证明：(1) 当当 2|UK|时费米球进入第二布里渊区，在布里渊区边 界上交成半径为时费米球进入第二布里渊区，在布里渊区边 界上交成半径为1，2的两个圆，这两个圆之间的面积为的两个圆，这两个圆之间的面积为24KmU ?解：解：(1) 当当 2|UK|时时EF= EK/2|UK| + EK/2+ +|UK|费米面进入第二布里渊区费米面进入第二布里渊区. 在布里渊区边界两侧在布里渊区边界两侧, 费米面的 截线为两个圆。费米面的 截线为两个圆。()222 2222 1212,2222kkkkUkUkkUmmm=+=?()()22 2222
9、 11222222 12122,4kkkaa mkkU =+=+=?19.1 如果费米面在一布里渊区边界相截成两个圆周，其 半径差为如果费米面在一布里渊区边界相截成两个圆周，其 半径差为k0，如果，如果k0很小，以很小，以2/2m=1 为单位，证明：为单位，证明： (1) k0=VG/ k0，其中，其中k0为小圆半径，为小圆半径，VG为晶体周期势 场在此布里渊区边界的傅里叶分量。为晶体周期势 场在此布里渊区边界的傅里叶分量。(2) 以以k0和和k0+k0为 半径的圆环面积为为 半径的圆环面积为2 VG。()()()12022 12121200242GkmkkV =+=?022GGmkVV=?(
10、)22 12242GGmVV =?圆环面积圆环面积习题习题4.4 用紧束缚近似求出体心立方和面心立方晶体用紧束缚近似求出体心立方和面心立方晶体s 态原子能 级相对应的能带态原子能 级相对应的能带ES( (k)函数。求相应的能带宽度。)函数。求相应的能带宽度。0( )()ssik R is RNearestE kJJ R e=? ? 能量本征值能量本征值当只计入最近邻格点原子的相互作用时，s 态原子能级相对应的能带函数可以表示为：当只计入最近邻格点原子的相互作用时，s 态原子能级相对应的能带函数可以表示为：( )sEk?0( )()ssik Rs ss RNearestEkJJ R e=? ?,
11、00,0,222222,00,0,222222, ,00,0,222222,00,0,222222aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 面心立方晶格如图所示。任意选 取一个格点为原点。有12 个最 邻近的格点，其位置为面心立方晶格如图所示。任意选 取一个格点为原点。有12 个最 邻近的格点，其位置为022saaRijk=+? 将将等12个格矢代入等12个格矢代入0( )()ssik Rs ss RNearestEkJJ R e=? ?()( )ssrr=? s态波函数为偶宇称态波函数为偶宇称* 1()() ( )( )( )0sisiJJ RRUVd = ?具有相同的值表示为具有相
12、同的值表示为()sJ R?1()sJJ R=?01( )ssik Rs s RNearestEkJJe=? ?将将022saaRijk=+? 代入计算代入计算()022()2sxyzsxyaak Rk ik jk kijkak Rkk=+=+? ?()2(cossin)(cossin)2222xysaikkik Ryyxxee k ak ak ak aii+=? ?类似表示共有类似表示共有12项项经过化简得到：经过化简得到：01( )4(coscos22coscoscoscos)2222ysx syxzzk ak aEkJJk ak ak ak a=+?01(0,0,0)12SkEJJ=? 能
13、带底能带底012(,0,0)4SkEJJa=+? 能带顶能带顶116 J能带宽度是能带宽度是体心立方格子如图所示，任意选取一个格点为原点。 有8 个最邻近的格点，其位置为体心立方格子如图所示，任意选取一个格点为原点。 有8 个最邻近的格点，其位置为,222222,222222, ,222222,222222aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 222saaaRijk=+? 将将等12个格矢代入等12个格矢代入0( )()ssik Rs ss RNearestEkJJ R e=? ?()( )ssrr=? s态波函数为偶宇称态波函数为偶宇称* 1()() ( )( )( )0sisiJJ RRUVd = ?具有相同的值表示为具有相同的值表示为()sJ R?1()sJJ R=?01( )ssik Rs s RNearestEkJJe=? ?将将 222saaaRijk=+?()222()2sxyzsxyzaaak Rk ik jk kijkak Rkkk=+=+? ?代入计算代入计算()2(cossin)22(cossin)(cossin)2222xyzsaikkkik Rxxyyzzk ak aeeik ak ak ak aii+=? ?类似表示共有类似表示共有8项项经过化简得到：经过化简得到：
