《线性代数 6-2标准形规范形》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 6-2标准形规范形（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院 陈建华陈建华陈建华陈建华线性代数线性代数线性代数线性代数机动 目录 上页 下页 返回 结束 复习复习复习复习 正交替换法（实二次型）正交替换法（实二次型）正交替换法（实二次型）正交替换法（实二次型） 标准形（配方法、标准形（配方法、标准形（配方法、标准形（配方法、初等变换法初等变换法初等变换法初等变换法） 规范形（实、复二次型）规范形（实、复二次型）规范形（实、复二次型）规范形（实、复二次型）6.2 6.2 6.2 6.2 二次型的标准形、规范形二次型的标准形、规范形二次型的标准形、规范形二次型的标准形、规范
2、形机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 1 1 ,1,1,1,1(,)(,)(,)(,)n n n nnijijnijijnijijnijij i ji ji ji jf xxa x xf xxa x xf xxa x xf xxa x x= = = = = = = T T T TX AXX AXX AXX AX= = = =（）ijjiijjiijjiijjiaaaaaaaa= = = =复习回顾复习回顾复习回顾复习回顾标准形标准形标准形标准形0000000000001111111122222222 12121212(,)(,)(,)(,)n n n nnnnnnnnndydydydy
3、dydydydyfy yyfy yyfy yyfy yydydydydy = = = = T T T TY DYY DYY DYY DY= = = =二次型机动 目录 上页 下页 返回 结束 线性替换线性替换线性替换线性替换: : : :X X X XCYCYCYCY. . . . 可逆（非退化）线性替换；正交替换可逆（非退化）线性替换；正交替换可逆（非退化）线性替换；正交替换可逆（非退化）线性替换；正交替换原二次型原二次型原二次型原二次型f f f f ( ( ( ( X X X X ) ) ) )X X X X T T T TA XA XA XA XX X X XCYCYCYCY0 0 0
4、 0C C C C 新二次型新二次型新二次型新二次型f f f f ( ( ( ( Y Y Y Y ) ) ) )Y Y Y Y T T T TB YB YB YB YB B B B与与与与A A A A关系：合同关系：合同关系：合同关系：合同B B B BC C C C T T T TACACACAC( ( ( (反身、对称、传递性，秩相等反身、对称、传递性，秩相等反身、对称、传递性，秩相等反身、对称、传递性，秩相等) ) ) )化化化化二次型为标准形二次型为标准形二次型为标准形二次型为标准形给定对称矩阵给定对称矩阵给定对称矩阵给定对称矩阵A A A A，求可逆矩阵求可逆矩阵求可逆矩阵求可逆
5、矩阵C C C C, , , , 使使使使 C C C CT T T TACACACACD D D D ( ( ( (对角阵对角阵对角阵对角阵) ) ) )二次型二次型二次型二次型 对称矩阵对称矩阵对称矩阵对称矩阵一一 一一 对对 应应 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二次型的标准形的定义二次型的标准形的定义所变成的平方和形式所变成的平方和形式所变成的平方和形式所变成的平方和形式注：注：注：注：1 1 1 1）任一二次型的标准形是存在的任一二次型的标准形是存在的任一二次型的标准形是存在的任一二次型的标准形是存在的. . . . 2 2 2 2）可应用配方等方法得到二次型的标准形可应用配方等
6、方法得到二次型的标准形可应用配方等方法得到二次型的标准形可应用配方等方法得到二次型的标准形. . . .222222222222 1122112211221122nnnnnnnnd yd yd yd yd yd yd yd yd yd yd yd y+二次型二次型二次型二次型 经过非退化线性替换经过非退化线性替换经过非退化线性替换经过非退化线性替换 12121212(,)(,)(,)(,)n n n nf x xxf x xxf x xxf x xx的一个标准形的一个标准形的一个标准形的一个标准形. . . . 称为称为称为称为 12121212(,)(,)(,)(,)n n n nf x x
7、xf x xxf x xxf x xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 在解析几何中在解析几何中在解析几何中在解析几何中, , , ,选择适当角度选择适当角度选择适当角度选择适当角度 , , , ,逆时针旋转逆时针旋转逆时针旋转逆时针旋转 坐标轴坐标轴坐标轴坐标轴 ( ( ( (标准方程标准方程标准方程标准方程) ) ) )中心与坐标原点重合的有心二次曲线中心与坐标原点重合的有心二次曲线中心与坐标原点重合的有心二次曲线中心与坐标原点重合的有心二次曲线 222222222 2 2 2faxbxycyfaxbxycyfaxbxycyfaxbxycy=+=+=+=+ cossincossincos
8、sincossin cossincossincossincossinxxyxxyxxyxxy yxyyxyyxyyxy = =+=+=+=+22222222fa xc yfa xc yfa xc yfa xc y =+=+=+=+机动 目录 上页 下页 返回 结束 从代数观点看从代数观点看从代数观点看从代数观点看作适当的作适当的作适当的作适当的 非退化线非退化线非退化线非退化线 性替换性替换性替换性替换只含平方项的多项式只含平方项的多项式只含平方项的多项式只含平方项的多项式二次齐次多项式二次齐次多项式二次齐次多项式二次齐次多项式111112211111122111111221111112212
9、11112212111122121111221211112211122112211221122nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc yc yxc yc yc yxc yc yc yxc yc yc yxc yc yc yxc yc yc yxc yc yc yxc ycycyxc ycycyxc ycycyxc ycycy=+=+=+=+ =+=+=+=+ =+=+=+=+ ( ( ( (标准形标准形标准形标准形) ) ) )12121212(,)(,)(,)(,)n n n nf x xxf x xxf x xxf x
10、 xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、正交替换法一、正交替换法一、正交替换法一、正交替换法定理定理定理定理1 1 1 1 任一任一任一任一实实实实二次型二次型二次型二次型 f f f f ( ( ( ( X X X X ) ) ) )X X X X T T T TA X A X A X A X 均可经均可经均可经均可经正交替换正交替换正交替换正交替换X X X XQY QY QY QY 化为标准形化为标准形化为标准形化为标准形 , , , ,其中其中其中其中为为为为A A A A的全部特征值的全部特征值的全部特征值的全部特征值, , , , Q Q Q Q的列向量为对应的列向量为对应的
11、列向量为对应的列向量为对应222222222222 1122112211221122nnnnnnnnyyyyyyyyyyyy+12121212,n n n n 于于于于 的的的的标准正交标准正交标准正交标准正交特征向量特征向量特征向量特征向量. . . .12121212,n n n n 定理定理定理定理 对实对称矩阵对实对称矩阵对实对称矩阵对实对称矩阵A A A A，存在正交矩阵存在正交矩阵存在正交矩阵存在正交矩阵Q Q Q Q，使得使得使得使得Q Q Q Q -1-1-1-1AQAQAQAQQ Q Q QT T T TAQAQAQAQ为对角阵。为对角阵。为对角阵。为对角阵。f f f f
12、= = = =X X X X T T T TA XA XA XA X f =Y f =Y f =Y f =Y T T T TD D D DY Y Y YX X X XCYCYCYCYD D D DC C C C T T T TACACACAC机动 目录 上页 下页 返回 结束 求正交阵求正交阵求正交阵求正交阵Q Q Q Q, , , , 使使使使Q Q Q Q-1-1-1-1AQAQAQAQ为对角形为对角形为对角形为对角形. . . .1 1 1 11111111111113263263263263 3 3 31111111111110,0,0,0,3263263263260 0 0 0121212120 0 0 036363636T T T TQAQQ AQQQAQQ AQQQAQQ AQQQAQQ AQQ = = = = = 2. 2. 2. 2.用用用用正交替换法正交替换法正交替换法正交替换法化化化化实实实实二次型为标准形二次型为标准形二次型为标准形二次型为标准形1. 1. 1. 1.已知已知已知已知实对称实对称实对称实对称矩阵矩阵矩阵矩阵A A A A, , , , 求求求求正交阵正交阵正交阵正交阵Q Q Q Q, , , , 使使使使Q Q Q QT T T TAQAQAQAQ为对角阵为对角阵为对角阵为对角阵. . . .改为本
