理论力学课件 动能定理

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1、2012年5月3日 Thursday理论力学CAI1动 能 定 理动量定理和动量矩定理是用矢量法研究动力学问题,而动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用,而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量动能和作用力的物理量功之间的联系,这是一种能量传递的规律。第第13章章2012年5月3日 Thursday理论力学CAI22 21iivmT 1. 质点系的动能质点系的动能2 21mvT 13.1 质点系的动能计算动能是算术量,恒取正值,单位动能是算术量,恒取正值,单位J(焦耳)。(焦耳)。质点的动能质点系的动能:构成质点系各质点动能之和

2、。质点的动能质点系的动能:构成质点系各质点动能之和。2 332 222 1121 21 21vmvmvmT如如2012年5月3日 Thursday理论力学CAI32222 21 21)(21 21CCCiiimvmvvmvmT2222 21)(21 21ziiiiJrmvmT定轴转动刚体平移刚体定轴转动刚体平移刚体与刚体运动形式,速度分布有关与刚体运动形式,速度分布有关Jz 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量2 运动刚体的动能运动刚体的动能2012年5月3日 Thursday理论力学CAI4柯尼希(Koenig) 定理2222222221 2121 21)(21 21)(21 21riiCr

3、iiCriiCriCiriiCiriCiiivmvmvmvvmvmvvmvmvmvvmvmT0dtdiiriimvm质点系动能计算质点系动能计算22 21 21riiCvmmvT而而质点系的动能,等于系统随质心平移的动能与相对于质心平移参考系运动的动能之和。质点系的动能,等于系统随质心平移的动能与相对于质心平移参考系运动的动能之和。x xz zy y C Cmim1mnm3m2x xz zy yO O i ir ri irC2012年5月3日 Thursday理论力学CAI5刚体的平面运动可以分解为随质心的平移和相对于质心平移参考系的转动。刚体的平面运动可以分解为随质心的平移和相对于质心平移参

4、考系的转动。22 21 21CCJmvT平面运动刚体的动能等于刚体平面运动刚体的动能等于刚体随质心平移随质心平移的动能与的动能与相对质心相对质心平移参考系的平移参考系的转动转动动能之和。动能之和。22 21)(21riiCivmvmT 平面运动刚体的动能 平面运动刚体的动能2012年5月3日 Thursday理论力学CAI6平面运动刚体的动能还可以写成:平面运动刚体的动能还可以写成:2 21PJT C为质心,为质心, P为速度瞬心。为速度瞬心。6)2(2121212222222mllmmlPCmJTC)()(例:例:PCAB CP 瞬心法表示速度2PCmJJCP 沿墙面下滑的杆的动能其中对瞬心

5、的转动惯量沿墙面下滑的杆的动能其中对瞬心的转动惯量2012年5月3日 Thursday理论力学CAI7刚体系的总动能等于构成刚体系的各刚体动能之和。刚体系的总动能等于构成刚体系的各刚体动能之和。iTTm1m2v刚体系的动能刚体系的动能2012年5月3日 Thursday理论力学CAI8练习求图示匀质物体的动能。 Rll/3v OBe OPCAB质量均为m2012年5月3日 Thursday理论力学CAI91 功的定义功的定义21dcosdssCsFWrF13.2 力的功元功元功kjirkjiFzyxFFFzyx dddd,zFyFxFWzyxddddrF曲线积分曲线积分力的功一般与力作用点运动

6、轨迹有关力的功一般与力作用点运动轨迹有关合力的功:合力的功: 若几个力同时作用于同一点,则合力在任意路程所作的功等于各个分力在该路程中所作功的代数和。功是代数量,单位:焦耳若几个力同时作用于同一点,则合力在任意路程所作的功等于各个分力在该路程中所作功的代数和。功是代数量,单位:焦耳 2012年5月3日 Thursday理论力学CAI10力系功的矢量形式:力的元功: niiiW1drFniCii iW1drF作用于质点系的力系的功质点系的外力和内力都可能作功。质点系的外力和内力都可能作功。!注意!注意2012年5月3日 Thursday理论力学CAI11常力的功常力的功0ddrrFrFrFCCW

7、常力的功常力的功与积分路径无关重力的功重力的功kFmg重力的功与重心运动的高度差成正比,与路径无关。2. 常见力的功常见力的功Fx=0,Fy=0,Fz=-mg)(d2121zzmgzmgWzz)(21CCzzmgW对于质点系2012年5月3日 Thursday理论力学CAI12rrlrkF0rrrrrrrd2d2dd2 2 22 12 022010022dddklrlrkrlrkrrrlrkrFWCCC弹性力的功与弹簧变形的平方之差成正比,与路径无关。弹性力是变力弹性力是变力1 初变形2 末变形其中弹性的力功弹性的力功弹性力的功弹性力的功kF 2012年5月3日 Thursday理论力学CAI

8、13套筒重套筒重G 在光滑圆环上滑动。设弹簧原长为在光滑圆环上滑动。设弹簧原长为R,当套筒从,当套筒从A运动到运动到B时,求弹簧力所作的功以及重力所作的功。时,求弹簧力所作的功以及重力所作的功。 212222222 skRRRRkkWBAWRzzWWBAg弹簧力的功重力所作的功弹簧力的功重力所作的功例:求力的功例:求力的功2012年5月3日 Thursday理论力学CAI14相互作用的一对力的元功之和 ijijijijijijjijiijjijijiWFrrFrrFrFrFrFrFdddddddd ninijCijij ijW11dF内力的功取决于质点之间的相对位移内力的功内力的功质点系内力的

9、功质点系内力的功刚体内力的总功恒等于零。刚体内力的总功恒等于零。2012年5月3日 Thursday理论力学CAI15力系对刚体的元功力系对刚体的元功 作用于刚体外力的元功等于外力的主矢与质心位移的标积,以及外力对质心的主矩与瞬时角位移的标积之和ddddddd1111 CCRniiiCniiniiCiniiiWMrFFrFrFrFtCCRtW0dMvF3. 作用于运动刚体上力系的功作用于运动刚体上力系的功2012年5月3日 Thursday理论力学CAI16平移刚体上力系的功定轴转动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功平移刚体上力系的功定轴转动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功CWrF dd

10、zMW ddCCMWrF力系对刚体的功,与刚体的具体运动形式有关力系对刚体的功,与刚体的具体运动形式有关 CCWrF d21dzMW21ddCCCMWrF2012年5月3日 Thursday理论力学CAI17常见理想约束有:常见理想约束有: 光滑固定支撑面 光滑铰链约束 光滑轴承 固定端约束 连接两物体的无重刚杆 不可伸长的柔索 刚体在固定表面上纯滚动4. 理想约束上的功理想约束上的功在任何虚位移上都不作功的约束称为在任何虚位移上都不作功的约束称为理想约束,理想约束,机构中的大部分约束为理想约束。机构中的大部分约束为理想约束。2012年5月3日 Thursday理论力学CAI18一般将摩擦力作

11、视为主动力求其功。1.摩擦副在研究的质点系内时,静摩擦力是不作功。2.摩擦力作的功,可以是正功,也可以是负功;且与路径有关。摩擦力一定作负功吗?如:摩擦轮传动,皮带输送等摩擦力一定作负功吗?如:摩擦轮传动,皮带输送等皮带输送皮带输送讨论:摩擦力的功2012年5月3日 Thursday理论力学CAI19总结:力系功的计算约束主动力总WWWW主动主动主动力的功。如重力,主动力的功。如重力,W约束约束约束力的功。约束力的功。W重力重力重力的功与路径无关,与高度差有关。重力的功与路径无关,与高度差有关。 W弹力弹力弹性力的功与路径无关,与初末变形量有关 。弹性力的功与路径无关,与初末变形量有关 。 W

12、摩擦力摩擦力摩擦力的功与路径有关。摩擦力的功与路径有关。其它主动力摩擦力弹力重力主动力总WWWWWW理想约束条件下,约束力的功为零,即理想约束条件下,约束力的功为零,即 W约束约束=0一般将摩擦力视为主动力。一般将摩擦力视为主动力。力系的总功力系的总功这样,力系的总功就是主动力系的功。这样,力系的总功就是主动力系的功。2012年5月3日 Thursday理论力学CAI20计算鼓轮顺时旋转一周外力所作的总功。计算鼓轮顺时旋转一周外力所作的总功。J 1154.1722 . 1 225. 081. 94215. 08 . 942220MRgmrgmWAB总M0做功的力:主动力矩做功的力:主动力矩MO

13、 ,两重物的重力,两重物的重力例:求力系的功2012年5月3日 Thursday理论力学CAI211. 质点动能定理质点动能定理Fv mt d drFvFvvdddtmrF d21d2mvWmvmv2 02 21 21质点的动能改变等于运动过程中力对质点所作的功WTT 013.3 质点系动能定理2012年5月3日 Thursday理论力学CAI22iiiiiWvmvm2 02 21 21WTT0 niiivmT12 21 niiivmT12 0021 niiniiWWW1N 1F质点系动能的改变等于作用于质点系的所有主动力功和约束力功的总和。微分形式积分形式微分形式积分形式WTd其中其中2.

14、质点系的动能定理2. 质点系的动能定理2012年5月3日 Thursday理论力学CAI23WTT0刚体系动能的改变等于作用于刚体系的所有力的功的总和。vABT0 刚体系的初动能;刚体系的初动能;T刚体系的末动能;刚体系的末动能;W 力系的总功。力系的总功。对于刚体系对于刚体系2012年5月3日 Thursday理论力学CAI24质点系的动能定理的应用动能定理是标量形式,理想约束条件下,约束力不做功,求解动能定理是标量形式,理想约束条件下,约束力不做功,求解速度(速度(角速度)角速度)非常方便。非常方便。动能定理还可求解动能定理还可求解位移位移,加速度加速度(角加速度)(角加速度)问题。问题。动能定理不能用于求解约束反力。一般约束反力不做功。动能定理不能用于求解约束反力。一般约束反力不做功。动能定理与动量定理和动量矩定理联合应用,可求解比较复杂的刚体动力学问题。动能定理与动量定理和动量矩定理联合应用,可求解比较复杂的刚体动力学问题。2012年5月3日 Thursday理论力学CAI25动能定理解题步骤:1.选取适当研究对象。2.进行受力分析,求出力的功;3.进行运动分析,写出系统动能。4.应用动能定理,求解。1.选取适当研究对象。2.进行受力分析,求出力的功;3.进行运动分析,写出系统动能。4.应用动能定理,求解。2012年5月3日 Thursd

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