直线与平面垂直的判定 教案

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1、2.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定教材：教材：人教版（A 版） ，普通高中课程标准实验教科书数学 2 ，P6770， 直线直线 与平面垂直的判定与平面垂直的判定 一、一、 教材的地位和作用教材的地位和作用直线与平面垂直的判定这节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位 置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后，对数学 2 中的立体几何初步 有了初步的认识的基础上进行的，其主要内容有直线与平面垂直的意义、直线与 平面垂直的判定定理及其应用。本节课的探究活动按照“直观感知操作确认 思辩论证度量计算”的认识过程展开。 二、二、 教学目标教学目标 1、通过教学活动，使学生了解、感受

2、直线和平面垂直的意义。 2、探究判定直线与平面垂直的方法。 3、引导学生把直线和平面关系转化为直线和直线的关系如直线和平面垂直， 只须这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线，向学生渗透转化思想的应 用 4、培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力，培养学生简单直观的思维方法和 良好的思维品质。 5、提高学生自主发现、自主探究和自主解决问题的能力。 三、三、 教学重点教学重点1、直线与平面垂直的意义和判定定理的探究。2、通过实验观察、猜想，归纳、总结得出直线和平面垂直的判定定理。四、四、 教学难点教学难点判定定理的应用课本 P70的探究活动。五、五、 教学方法教学方法 1、启发诱导的教学模式（启发诱

3、导的教学模式是教师在学生已有的知识经验和 思考基础上适当引导，使学生获得新知识。其主要理论依据是现代认知理论 和当代信息理论。 ） 2、现代化多媒体教学手段（计算机都有很强大的图形处理功能和动画处理功能， 可以给学生包括声音、图片、视频等几乎你能想象到的所在地媒体。现代信 息传播理论已证明：视听等多媒体感官刺激大脑，会唤起表象，激起强烈的 求知欲和浓厚的学习兴趣，使教学目标得以顺利完成，并收到良好的学习效 果。 ） 六、六、 教学工具教学工具演示电脑主机一台，电脑投影屏幕一个。电动投影仪一台；黑板；粉笔；板刷一 个。2七、七、 学法指导学法指导 “授人以鱼，不如授人以渔” 。在教学过程中，不但

4、要传授学生课本知识，还要 培养学生主动观察、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的 综合素质，从而达到教学的终极目标。教学中，教师创设疑问，学生想办法解 决疑问，通过教师的启发与点拨，在积极的双边活动中，学生找到解决问题的 方法，找到解决问题的关键。 八、八、 教学基本流程教学基本流程九、九、 教学过程教学过程 （一）复习引入：复习引入： 1奎屯王新敞新疆直线和平面的位置关系观察空间直线和平面可知它们的位置关系有： （1）直线在平面内（无数个公共点） ； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点） ； （3）直线和平面平行（没有公共点）用两分法进行两次分类奎屯王新敞新疆它们的图形分

5、别可表示为如下，符号分别可表示为，奎屯王新敞新疆aaAI/aaaAa2奎屯王新敞新疆线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行奎屯王新敞新疆推理模式：奎屯王新敞新疆, /lmlml3奎屯王新敞新疆线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面从直从直线线与平面垂直的与平面垂直的实际实际背景引入背景引入课题课题构建直构建直线线与平面垂直的概念与平面垂直的概念探究直探究直线线与平面垂直的判定定理与平面垂直的判定定理直直线线与平面垂直判定定理的与平面垂直判定定理的应应用用课课堂小堂小结结与作与作业业ml3平行，经过这条直线的平面和这个 平面相交，那

6、么这条直线和交线平行奎屯王新敞新疆推理模式：奎屯王新敞新疆/,/llmlm I（二）（二） 、讲解新课：、讲解新课： 1、结合日常生活的一些图片资料，从实际背景出发，直观感知直线与平面垂直的位 置关系。如下图：（图 1）4（图 2）（图 3） 2、 思考问题思考问题 ：现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的形象，但一条5直线与一个平面垂直的确切意义是什么呢？ （1）结合旗杆与地面的位置关系、木橙的橙脚与地面的位置关系，让学生感知线面 垂直这种位置关系，提出问题，并组织学生思考、讨论。注意引导学生从实际背 景“观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子”出发来分析、归纳直线与平面垂 直的定义。

7、（2）从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线 垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直呢？ 注意引导学生用“平面化”的思想来思考问题。 老师通过提问的方式引导学生讨论，再给出定义。 3、给出定义及相关的概念： 定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直， 我们就说这条直线和这个平面互相垂直，奎屯王新敞新疆其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面奎屯王新敞新疆交点叫做垂足奎屯王新敞新疆直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a奎屯王新敞新疆画法：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边 垂直奎屯王新敞新疆说

8、明：“任何”表示所有（提问：若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线 垂直与平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？） 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的 交点叫做垂足奎屯王新敞新疆 a等价于对任意的直线，都有 a奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆mm4、思考问题思考问题 虽然可以根据定义判定直线与平面平面垂直，但这种方法实际上难以 实施。有没有比较方便可行的方法来判定直线和平面的垂直呢？ 探究活动探究活动 请同学们准备一块三角形纸片，一起来做一个试验：过三角形 ABC 的顶点 A 翻折纸片，得到折痕 AD，将翻折后的纸片竖起来放置在桌面上（BD，DCPa a l6

9、与桌面接触） 。（1） 通过操作确认，引导学生发现直线和平面垂直的条件。 （2） 在学生操作过程中，老师提问：折痕与桌面上的一条直线垂直，是否可AD 以保证垂直桌面？由折痕，翻折之后这一垂直关系是一个不变ADADBC关系，即有。你能得到什么结论？,ADCDADBD（3） 容易发现：当且仅当折痕是边上的高时，这样翻折之后竖起的折痕ADBC 才不偏不倚地站立着，即与桌面垂直。其它位置都不能使与桌ADADAD 面垂直。 5、思考问题思考问题 根据上面的试验，结合两条相交直线确定一个平面的事实，给出直线 与平面垂直的判定方法吗？ （1） 教师引导学生根据直观感知以及已有经验，进行合情推理，获得判定定理

10、。 （2） 教师引导学生回忆“两条相交直线确定一个平面” ，以及直观过程中获得的感 知，将“与平面内所有直线垂直”逐步归结到“与平面内两条相交直线垂直” ， 进而得出定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 即即 若若 ， ，B， ， ，则，则 lmlnmnmnl6、例 1 一旗杆高 8m，在它的顶点处系两条长 10m 的绳子，拉紧绳子并把它们的 下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一条干线上） 。如果这两点与旗杆脚步距76m， 那么旗杆就与地面垂直。 为什么？ 分析： （1） 初步运用直线与平面垂

11、直的判定定理解决问题。 （2） 教师引导学生分析题意，让学生思考：“如果这两点都和旗杆脚相距 6 米，则旗杆就和地面垂直”的道理在哪里，这个条件为什么能保证旗杆与地面垂直？ 解：在和中，ABCABD8 ,6 ,10ABm BCBDm ACADm2222226810ABBCAC2222226810ABBDAD 90ABCABD o即,ABBC ABBD又不共线,B C D平面，即旗杆和地面垂直。AB BCD7、例 2 已知：ab，a （如图 1-68）求证：b。分析：（1）要证明：b，根据判定定理，只要证明在平面 内有两条相交 直线 m、n 与 b 垂直即可（2）教师引导学生将思路集中在如何在平

12、面内找到两条与直线垂直的b 相交直线上。另外，再引导学生将已知条件具体化的过程中，逐步明确根 据异面直线所成的角的概念来解决问题。证明：在平面 内作两条相交直线 m、n，设 mnACBDA8说明：（1）本例可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理这样，判定一 条直线与已知平面垂直，可以用这条直线垂直于平面内两条相交直线来证明，也 可以用这条直线的平行直线垂直于平面来证明（2）课本书写的证明过程比较简洁，最好要求学生按照本教案示例书 写8、小结：(1) 请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。(2) 直线与平面垂直的判定定理，体现的数学思想方法是什么？ (3)空间直线垂直于平面的定义是什

13、么？ （三） 、课堂练习课堂练习： 1选择题（1） “直线 垂直于平面内的无数条直线”是“ ”的 （ ）ll （A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（2）如果一条直线 与平面的一条垂线垂直，那么直线 与平面的位置关系是（ ll ） （A） （B） （C） （D） 或 lllll 答案：（1）B (2)D 2填空题（1）过直线外一点作直线的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平 行平面有 个.（2）过平面外一点作该平面的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条； 平行平面有 个. 答案：（1）无数，一，一，无数；（2）一，无数，无数，一 3能否作一条直线同时垂直于两条

14、相交直线？ 能否作一条直线同时垂直于两个相交平面？为什么？ 答案：（能，而且有无数条） （不能） 4奎屯王新敞新疆拿一张矩形的纸对折后略为展开，竖立在桌面上，说明折痕为什么和桌面垂直奎屯王新敞新疆答案：因为折痕垂直于桌面内的两条相交直线. 5奎屯王新敞新疆一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，这条直线垂直于这个平面吗？为什么？ 答案：不一定.因为这条直线可能与这个平面斜交或在其内. 6奎屯王新敞新疆过一点和一条直线垂直的平面是否只有一个？为什么？9答案：是.假若有两个平面过点 A 都于 垂直，过这条公共垂线 作一个不经过两, ll平面的交线的平面，与分别相交于直线且，, , , ,a b ablAII,la lb，从而有，此与矛盾., ,l a ba bPabAI7奎屯王新敞新疆如果三条直线共点，且两两垂直，问其中一条直线是否垂直于另两条直线所确定的平面奎屯王新敞新疆（四） 、课后作业：1、教科书 P70 探究探究；2、教科书 P70 练习练习1，2。