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1、课程名称：工程流体力学 第 8 讲次 摘 要授课题目（章、节）4.4 动量矩守恒 4.5 能量守恒本讲目的要求及重点难点： 【目的要求目的要求】了解动量矩、动量矩定律以及控制体的动量矩守恒方程、能量守恒方程，掌握运动流 体能量的分类及其物理意义，熟悉化工流动系统的能量方程, 伯努利方程及其应用条件。 【重重 点点】动量矩守恒方程、能量守恒方程, 能量的分类及其物理意义，伯努利方程及其应用条 件。 【难难 点点】能量的分类及其物理意义。 内 容【本讲课程的内容】4.4 动量矩守恒方程动量矩守恒方程动量守恒方程阐明了流体运动的变化与所受外力之间的关系。但是，当系统还受到力矩的作用，从而产生转折运动
2、或旋转运动时，要研究流体系统的动力学关系，比如叶轮机械中的流体流动与转动力矩问题，往往就需要用到动量力矩方程。4.4.1 动量矩定律动量矩定律动量矩动量矩：为了说明动量矩的概念，考察图 4-11 所示的在 x-y 平面上运动的质点。选择坐标原点 o 为参照点，质点位置矢径为 r，质点动量 m 和所受合力 F 与 r 方向延线的夹角分别为 和 。已知力矢量对原点的矩为，其大小为|r|sin；与力矩类似，所谓动力矩，就是动量矢量 m 对参照点的矩，即 rm，其大小为|r|m|sin；图 4-8中，m、F、r 均位于 x-y 平面内，按右手法则，力矩矢量和动量矩矢量（rm）均指向轴正方向。动量矩定律
3、动量矩定律：为确定力矩与动量之间的关系，将动量方程（4-20）两边同时叉乘位置矢径可得dtdmr r其中，方程左边项 r=(r)=，是系统所受的力矩之和；而方程右边可按矢量微分法则展开，并考虑到 dr/dt= 且与 m 是平行矢量，所以有：dtmv)d(r=mvdtdrdtmv)d(r=dtdmvr于是可得：dt)md(r 上式表明，相对于同一参照点，系统所受力矩等于系统动量矩随时间的变化率，这就是动量矩定律动量矩定律。4.4.2 控制体系统的动量矩方程控制体系统的动量矩方程由于(rm)=m(r)，因此，如果将速度矩矢量(r)暂用符号表示，则动量矩方程(4-26)可表示为dtdm= 这与动量方
4、程(4-20) ，即dtdmv=F在形式上是完全一样的。因此，可按照推导动量守恒方程(4-23a)完全相同的步骤，得到控制体系的动量矩守恒方程为 CSCV)dV(rt)(n)dA(r= 该方程的意义是化率量 动输出 的 若用 Mx、My、Mz和(r)x、(r)y、(r)z 分别表示力矩矢量和速度矩矢量r 在 x、y、z 方向的分量，则动量矩方程在 x、y、z 方向的分量式分别为CVzCSzzCVyCSyyCVXCSXXdV)(rt(n)dA)(r= dV)(rt(n)dA)(r= dV)(rt(n)dA)(r= 二维稳态流动系统的动量矩方程二维稳态流动系统的动量矩方程：动量矩方程常用于二维稳态
5、流动系统，如叶轮机械中的流动和力矩分析。二维条件下动量矩方程就只剩下一个分量式，如果再考虑到作为工程计算，不计进出口截面上速度的具体分布，而代之以平均速度，则动量矩方程将大为简化，更便于应用。如图 4-12 所示，设平面流动(或管道)系统平行于 x-y 平面，则与轴垂直。在流道进口截面上，流体质量流量为m1，流体的平均速度为 1，进口截面矢径 r1与 1的夹角 1。于是根据矢量叉乘法则，在进口截面上速度 1对轴的矩为：1111zsinr=)(r若出口截面上流体质量流量为，平均速度为，位置矢径与的夹角为m2q22r2，同理有22222zsinr=)(r所以m1111m2222AA111 222A
6、1zA2zCSzqsinr-qsinr= dA)n(sinr-(n)dAsinr= (n)dA)(r (n)dA)(r= (n)dA)(r1212 于是，根据动量矩方程(4-28)第三式，可得 x-y 二维平面系统稳态流动情况下的动量矩为(4-29)m1111m2222zqsinr-qsinr= 应用(4-29)式应特别注意：式中已按通常的约定，取z 的正方向为轴的正方向，所以式中的 必须由矢径的延伸线逆时针转动与速度 相重合时的角度，如图 4-12(a)所示。在某些情况下，比如在图 4-12(b)中，可能不直接知道出口面上的绝对速度，但2知道分速度以及与它们的夹，此时可直接用 2221 2r
7、2221 )(r222221212代替代入式(4-29)，因为合速度的矩等于分速度对同一参照点的矩之和。222sinr因而，考虑到进出口面上有多个分速度的情况，可将方程(4-29)更一般地写为如下形式(4-30)m111i1m22i2i2zq)sin(q)sin(= 该式在叶轮机械的流动分析中应用更多一些，因为直接知道的往往是叶轮流道进出口面上流体的相对速度和牵连速度，而不是绝对速度。此外，尽管式(4-29)和式(4-30)形式上是针对一个进口和一个出口的情况，但不难将其推广应用于有多个进出口的系统。4.5 能量守恒方程能量守恒方程流体流动过程不仅要遵循质量守恒和动量守恒原理，亦要遵循能量守恒
8、原理。分析流体的能量转换，所依据的是热力学第一定律，亦能量守恒定律。本节将建立控制体系统的能量守恒方程，并阐明其在化工流体系统能量衡算中的应用。4.5.1 控制体系统的能量守恒方程控制体系统的能量守恒方程(1) 储存能内能、动能、位能单位质量流体的储存能：2/2euvgz理想气体：; 无相变液体：; 等温过程：vucT vpucTcT 0u (2) 迁移能热量、功量(3) 运动流体的机械能222pvgz6 4 7 48总位能压力能动能 位能单位质量流 体的机械能222pvzgg6 4 7 4 8总位头静压头速度头位头单位重量流 体的机械能(4) 流动截面上各点的总位能（总位头）充分发展流动的横
9、截面上，压力分布满足静力学方程截面上总位能守恒。如图0pAAzBA AphgBzB Bphgooo() rABBAAABBppg zzpgzpg z pgzconstpgzconst Q即：沿同一截面, p/ 与 gz 各自都会变化, 但两者之和不变。(右图中)。AABBhzhz(5) 单位质量流体的平均动能及动能修正系数4.5.2 控制体能量守恒方程控制体能量守恒方程通过控制面的能量流量(储存能）4.5.3 化工流动系统能量守恒方程化工流动系统能量守恒方程4.5.4 伯努利方程及其应用说明伯努利方程及其应用说明现进一步针对管流系统，考察能量方程(4-46)在特定条件下的简化式。这些条件：无热
10、量传递；无轴功输出；流体不可压缩；稳态流动；理想流体。（1）伯努利方程简化根据这些条件，能量方程(4-46)简化为0dA)n(gz 2hCS2 考虑到焓=+/，且进口截面 A1 上(n)=-，出口截面 A2 上(n)=，则上式有可改写为 22A2A2 0dA gz 2+ dA gz 2+ 可以证明，对于理想不可压缩流体的稳态流动，只要进出口截面 A1 和 A2 处于均匀流段(等直径管段)，则截面上各点的总位能 gz/ 亦相等。其次，由于理想流体粘度 =0,流动过程中无粘性耗散(粘性耗散是流体内摩擦导致的机械能损耗，他将转化为热量使流体温度上升)，而条件又规定无热量转递，所以流动过程必然是等温过
11、程，即流体内能=const。上述条件意味着方程(4-32)积分式中的被积函数与积分截面无关，于是将被积分函数从积分符号内提出，该方程进一步简化为2222 21112 11dA gz 2P2+ =dA gz 2P+ 由于是稳态流动，所以有2211dA=dA这就是著名的伯努利方程(Bernoulli equation)。由于方程中涉及的动能、位能和压力能都属于机械能，所以又称为机械能守恒方程。该方程表明，理想不可压缩流体在稳态流动过程中，其动能、位能、压力能三者可相互转化，但总机械能是守恒的。（2）伯努利方程的应用说明（P88）伯努利方程是机械能守恒方程，涉及的是无热传递和轴功为零的不可压缩流动过
12、程。（3）阻力损失及其计算阻力损失的含义: hf 是单位重量流体因摩擦耗散损失的压力能(压头损失)。所谓“损失”是指流动过程中压力能因摩擦耗散转化为热能后再不能恢复为压力能，是能量品质而不是数量损失；损失压力能获得热能，能量依然守恒。因此，阻力损失 hf也可看成单位重量流体因摩擦耗散获得的热能。阻力损失： 沿程阻力损失+ 局部阻力损失【本讲课程的小结】 本讲介绍了两个内容：1、首先从系统的角度介绍了动量矩定理，由于系统动量矩方程（4-26）与动量方程（4-20）形式上完全一样，因此控制体的动量矩方程与动量守恒方程（4-23）形式上也完全一样，因此按照前者的关系，将（4-23）中的 v 代之以 rv、F 代之以 M，就得到了控制体的动量矩守恒方程（4-27） ，其后又具体介绍了二维稳态流动系统的动量矩方程。2、在能量守恒的讲解中，首先介绍了运动流体能量的分类及其物理意义，并结合各能量的基本概念给出了单位质量（重量）流体的机械能，而后根据输运公式推导出了控制体的能量守恒方程。后又结合化工系统的流动问题对能量守恒方程进行了具体应用。【本讲课程的作业】
