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2、关键词 随机变量 数学期望 经济应用数学期望(mathematical expectation)简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数 字特征，在经济管理工作中有着重要的应用。本文通过探讨数学期望在经济和实际问题中 的一些简单应用，以期起到让学生了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到 “数学的确有用”。一、决策方案问题决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策。它帮助人们在复杂的情 况下从可能采取的方案中做出选择和决定。具体做法为：如果知道任一方案 Ai(i=1,2,m) 在每个影响因素 Sj(j=1,2,n)发生的情况下，实施某种方案所产生的盈利值及各影响因素 发生的概
3、率,则可以比较各个方案的期望盈利，从而选择其中期望盈利最高的为最佳方案。1.风险方案假设某公司预计市场的需求将会增长。目前公司的员工都在满负荷地工作着，为满 足市场需求，公司考虑是否让员工超时工作或以添置设备的办法提高产量。假设公司预测 市场需求量增加的概率为 p，同时还有 1-p 的可能市场需求会下降。若将已知的相关数据 列于下表:由条件可知，在市场需求增加的情况下，使员工超时工作或添加设备都是合算的。 然而现实是不知道哪种情况会出现，因此要比较几种方案获利的期望大小。用期望值判断, 有:E(A1)=30(1-p)+34p,E(A2)=29(1-p)+42p,E(A3)=25(1-p)+44
4、p。事实上,若 p=0.8,则 E(A1)=33.2（万） ，E(A2)=39.4（万） ，E(A3)=40.2(万）,于是公司 可以决定更新设备，扩大生产。若 p=0.5，则 E(A1)=32(万） ，E(A2)=35.5(万） ，E(A3) =34.5(万） ，此时公司可决定采取员工超时工作的应急措施。由此可见，只要市场需求增长 可能性在 50%以上，公司就应采取一定的措施，以期利润的增长。2.投资方案假设某人用 10 万元进行为期一年的投资，有两种投资方案：一是购买股票;二是存 入银行获取利息。买股票的收益取决于经济形势，若经济形势好可获利 4 万元，形势中等 可获利 1 万元，形势不好
5、要损失 2 万元。如果存入银行，假设利率为 8%，可得利息 8000 元，又设经济形势好、中、差的概率分别为 30%、50%、20%。试问应选择哪一种方案可 使投资的效益较大？比较两种投资方案获利的期望大小：购买股票的获利期望是 E(A1)=40.3+10.5+(-2)0.2=1.3(万元）,存入银行的获利期 望是 E(A2)=0.8（万元） ，由于 E(A1)E(A2),所以购买股票的期望收益比存入银行的期望收 益大，应采用购买股票的方案。在这里，投资方案有两种，但经济形势是一个不确定因素, 做出选择的根据必须是数学期望高的方案。3.面试方案设想某人在求职过程中得到了两个公司的面试通知，假定
6、每个公司有三种不同的职 位:极好的,工资 4 万;好的,工资 3 万;一般的,工资 2.5 万。估计能得到这些职位的概率为 0.2、0.3、0.4，有 0.1 的可能得不到任何职位。由于每家公司都要求在面试时表态接受或拒 绝所提供职位，那么，应遵循什么策略应答呢？极端的情况是很好处理的，如提供极好的职位或没工作，当然不用做决定了。对于 其他情况，我们的方案是，采取期望受益最大的原则。先考虑现在进行的是最后一次面试，工资的期望值为: E1=40.2+30.3+2.50.4+00.1=2.7 万。那么在进行第一次面试时，我们可以认为，如果接受一般的值位，期望工资为 2.5 万，但若放弃(可到下一家
7、公司碰运气） ，期望工资为 2.7 万，因此可选择只接受极好的和 好的职位。这一策略下工资总的期望值为 40.2+30.3+2.70.5=3.05 万。如果此人接到了三份这样的面试通知,又应如何决策呢?最后一次面试,工资的期望值仍为 2.7 万。第二次面试的期望值可由下列数据求知:极 好的职位，工资 4 万;好的，工资 3 万；一般的，工资 2.5 万;没工作(接受第三次面试） ，2.7 万。期望值为:E2=40.2+30.3+2.50.4+2.70.1=3.05 万。这样，对于三次面试应采取的行动是：第一次只接受极好的职位，否则进行第二次 面试；第二次面试可接受极好的和好的职位，否则进行第三
8、次面试；第三次面试则接受任 何可能提供的职位。这一策略下工资总的期望值为 40.2+3.050.8=3.24 万。故此在求职时 收到多份面试通知时，应用期望受益最大的原则不仅提高就业机会，同时可提高工资的期 望值。二、生产和销售利润问题在经济活动中，不论是厂家的生产还是商家的销售，总是追求利润的最大化,供大于 求或供不应求都不利于获得最大利润。但供应量和需求量又不是预先知道的。理性的厂家 或商家往往根据过去的数据(概率） ，用数学期望结合微积分的有关知识，制定最佳的生产 或销售策略。假定某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定其产量。估计出售一件产品，公 司可获利 m 元，而积压一件产品，可导
9、致损失 n 元，另外，该公司预测产品的销售量 X 为 一个随机变量，其分布为 p()，那么，产品的产量该如何制定，才能获得最大利润。假设该公司每年生产该产品 件，尽管 是确定的，但由于需求量(销售量)是一个 随机变量，所以收益是一个随机变量，它是的函数：于是期望收益为,问题转化为,当 为何值时,期望收益可以达到最大值。运用微积分 的知识,不难求得。这个问题的解决,就是求目标函数期望的最大最小值。三、委托代理问题在经济生活中，委托代理是非常普遍的，例如老板和员工、股东和经理等等。老 板希望在给员工支付工资的同时确保员工能恪尽职守地工作,而员工则希望在拿到薪酬的同 时尽量少工作。那么,应采取怎样的
10、策略来确保两方面的平衡呢?我们可以用双方利润的数 学期望来分析这一问题。首先，如果不考虑外界因素的影响，老板的利润会随着员工的努力程度而增加；另 一方面，如果员工的努力程度不变，老板的利润也会受到外界因素的影响，简单综合为运 气好和运气差。假设这两方面的影响可概括如下：由上表数据知，当利润为最小(10 万)和最大(40 万)时，老板可确定员工是否努力工 作，在其他情况下无法确定，因此，员工可能会偷懒。另一方面，员工工作只是为了工资 收入，努力工作会增加他的劳动成本，简单起见，记其努力工作的劳动成本为 10 万元，而 不努力工作的劳动成本为 0 万元。因此，对于老板来说，最有利的结果当然是员工努
11、力工 作，这是因为老板的期望利润为:当员工努力工作时 E1=200.5+400.5=30 万;当员工不努力 工作时 E2=100.5+200.5=15 万。那么，如何能保证员工能够努力工作呢？我们可以考虑 不同的报酬形式:固定工资 12 万元;对员工的努力作出奖励。假设老板可制定报酬计划如下: 若利润不超过 20 万，工资为 0，若利润达到 40 万，工资为 24 万;分享利润。假设老板可制 定报酬计划如下:当利润少于 18 万时，工资为 0，当利润高于 18 万时，超过部分作为工资 奖励给员工。在这三种报酬形势下,我们分别考虑老板和员工双方的利益;其他参考文献Baker, Sheridan.
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